Probar que para todo entero positivo $n, \exists c_n$ tal que $f(c_n) = f(c_n+1/n)$

Question

Deje $f:[0,1] \to [0,1]$ ser una función continua con $f(0) = f(1)$. Demostrar que para cada entero positivo, $n, \exists c_n \in [0,1]$ tal que $f(c_n) = f(c_n+1/n), c_n \in [0,1-\frac{1}{n}].$

Con este problema, la única cosa que viene a mi mente en términos de $n$ ser un entero positivo es que como $n$ va a más y más grande, $f(c_n + \frac{1}{n})$ va a más y más a $f(c_n + 0) = f(c_n),$ eso es todo. Yo no puede subir nada en términos de uso de IVT a este. Y, desde $f(a) = f(b)$, sé que no puede aplicar el teorema de Rolle a esto porque el problema no decir $f$ es diferenciable. Alguna ayuda? Gracias.

Edit: aunque las condiciones son las mismas con este problema, las funciones son diferentes. Y, las respuestas de la pregunta que claramente no son útiles para resolver mi problema.

Answer 1

Considere la posibilidad de $g(x)=f(x+\frac{1}{n})-f(x)$ definido en $[0,1-\frac{1}{n}]$, asumir que hay no $x\in [0,1-\frac{1}{n}]$ tal que $g(x)=0$ por el teorema del valor intermedio ($g(x)$ continuo), tendremos a $g(x)>0$ o $g(x)<0$ todos los $x\in [0,1-\frac{1}{n}]$. Sin embargo, hace $f(1)>f(1-\frac{1}{n})>…>f(0)$ o $f(1)<f(1-\frac{1}{n})<…<f(0)$, contradicción.