Si $f_j \rightharpoonup f$ débilmente en $W^{1,p}$ $f_j \to f$ fuertemente en $L^p$?

Question

Supongamos $1<p<\infty$ $\Omega$ es un abierto acotado establece en $\mathbb R^n$, con un bonito límite (es decir Lipschitz o incluso mejor). Deje $(f_j)_j \subset W^{1,p}(\Omega)$ s.t. $f_j \rightharpoonup f$ débilmente en $W^{1,p}(\Omega)$.

Es cierto que $f_j \to f$ fuertemente en $L^p(\Omega)$?

Para asegurarse de que es cierto que $f_j \rightharpoonup f$$\nabla f_j \rightharpoonup\nabla f$. Por otra parte, debemos tener una fuerte convergencia de una larga gracias a la reflexividad: $(f_j)_j$ está delimitado por lo tanto se tiene una fuerte convergente larga en $L^p(\Omega)$ debido a la incrustación $W^{1,p} \to L^p$ es (siempre) compacto.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: probar el siguiente resultado topológico

Suponga que $\Omega$ es un espacio métrico y $x_n\in\Omega$ es una secuencia. Supongamos que cada subsequence de $x_n$ la tiene más larga, que converge a algunos de fixed limit $x\in \Omega$. A continuación, $$x_n\to x$$