Son todos grandes cardenal axiomas expresable en términos de primaria incrustaciones?

Question

Primaria, la inclusión es una inyección de $f:M\rightarrow N$ entre los dos modelos de $M,N$ de una teoría de la $T$ tal que para cualquier fórmula $\phi$ de la teoría, tenemos $M\vDash \phi(a) \ \iff N\vDash \phi(f(a))$ donde $a$ es una lista de elementos de $M$.

Un punto crítico de esta inclusión es el menor ordinal $\alpha$ tal que $f(\alpha)\neq\alpha$.

Un gran cardenal es un número cardinal que no se puede demostrar que existen dentro de ZFC. A menudo parecen ser puntos críticos de primaria, la incorporación de modelos de ZFC donde $M$ es la jerarquía de von Neumann, y $N$ es algún modelo transitivo. Es este hecho es cierto para todos los grandes cardenal axiomas?

Answer 1

La existencia de la incrustación de las caracterizaciones de muchos de los grandes cardenal nociones es algo de una feliz sorpresa, la verdad. No parece haber ninguna razón, a priori, para los grandes cardenales de más de naturaleza combinatoria tener una descripción, pero aquí estamos.

Todavía, si usted requiere el dominio de su incrustación de ser el universo entero, el cardenal siempre será al menos medibles. Para obtener más débil grandes cardenales, usted necesita para permitir que las estructuras más pequeñas como los dominios. También, usted va a tener muchas de esas incrustaciones de verificar su gran cardenal de la propiedad (pero esto es cierto para los mayores grandes cardenales así, por ejemplo, supercompact cardenales).

Como un primer ejemplo, considere débilmente compacto de cardenales. Estos tienen una incrustación caracterización diciendo que $\kappa$ es débilmente compacto si hay una incrustación con punto crítico $\kappa$ de todos los transitiva conjunto de tamaño $\kappa$ y que contengan $\kappa$.

Os recomiendo echar un vistazo a Cantor del Ático, donde muchos de los grandes cardenales se describen junto con sus diversas caracterizaciones.

Answer 2

No exactamente.

Primero de todo, hay pequeños grandes cardenales, inaccesible o Mahlo cardenales, para que yo no conozco ninguna fórmula natural en términos de incrustaciones.

Una vez que llegamos a débilmente compacto cardenales, podemos comenzar la extracción tradicional de gran cardenal de propiedades en términos de incrustaciones, pero los modelos que participan sólo satisfacer los fragmentos de $\mathsf{ZFC}$.

En el ámbito de los grandes cardenales pasado medición, es cierto que el gran cardenal de la plantilla se utiliza a menudo, pero usted necesita tener cuidado. Woodin cardenales, por ejemplo, no son ni siquiera medibles (a pesar de que son el límite de medir los cardenales).

En el sin elección contexto, uno de los estudios, por ejemplo, la partición de los cardenales, y natural de la formulación de estos axiomas no es en términos de incrustaciones; de hecho, aunque las propiedades de la partición normalmente implica la medición, no sé de una incrustación de formulación que se recoge plenamente fuerte partición de los cardenales.

Por último, hay gran cardenal nociones que no están asociados con una gran cardenal per se, tales como la existencia de $0^\sharp$, e incluso a pesar de los correspondientes conjuntos de proporcionar nosotros con incrustaciones, estas incrustaciones normalmente sólo parcial (fina o de un conjunto de tamaño) de los modelos.

Es posible que desee visitar el Cantor del ático para una visión general de las principales señales de tráfico en el gran cardenal de la jerarquía.

Answer 3

No. Si $\kappa$ es el punto crítico de una completa primaria de la incrustación de $j : V\to N$, $N$ transitiva, entonces $\kappa$ es medible. Sin embargo, no todos los grandes cardenales son medibles; véase, por ejemplo, débilmente compacto de cardenales. Incluso los grandes cardenales con mayor consistencia la fuerza (como Woodin cardenales) no siempre son medibles.

Answer 4

Hay un PDF en línea de la conferencia de las diapositivas por Woodin en el "Omega Conjetura", en la que axiomatizes el tipo de fórmulas que son grandes cardenales. No sé cómo exhaustiva de su formulación. Ver las referencias en

http://en.wikipedia.org/wiki/Omega_conjecture