Curvas elípticas con un número finito de puntos racionales

Question

Una conjetura por Goldfeld dice que la mitad de todas las curvas elípticas tienen rango de cero (es decir, su Mordell-Weil grupo finito de orden.)

¿Hay algún conocido infinito familias de curvas elípticas ( $\mathbb{Q}$ ) con sólo un número finito de puntos racionales?

Por ejemplo, en Silverman/Tate, hay un cálculo que muestra que $y^2=x^3+x$ tiene exactamente un punto racional y $y^2=x^3+4x$ tiene exactamente tres puntos racionales (sin contar el punto en el infinito). Me pregunto si hay algún conocido parametrizaciones dar un número infinito de tales curvas.

Answer 1

Este es el Corolario 6.2.1 del Capítulo X en Silverman "La Aritmética de Curvas Elípticas": Deje $p$ ser un primo tal que $p\equiv 7$ o $11\bmod 16$. A continuación, el Mordell-Weil grupo de $E_p: y^2=x^3+px$ rango $0$ (por otra parte, la $2$-torsión de Sha es también trivial!). Por lo tanto, $E(\mathbb{Q})$ tiene sólo un número finito de puntos.

De hecho, en la Proposición 6.1 de Silverman (mismo capítulo X), se muestra que la torsión de los subgrupos de $E_p(\mathbb{Q})$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, lo $E_p(\mathbb{Q})$ sólo ha $2$ puntos.

El único inconveniente de este ejemplo es que todas estas curvas de $E_p$ han constante $j$-invariante $1728$.

Answer 2

EDIT: De la Wikipedia ensayo sobre la congruencia de los números, http://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number#Congruent_number_problem, tenemos "un número racional positivo $n$ es congruentes si y sólo si, la ecuación de $y^2 = x^3 - n^2x$ tiene un punto racional con $y$ no es igual a $0$ ... la existencia de un punto racional con $y$ distinto de cero es equivalente a decir que la curva elíptica ha positiva de rango ... si $p$ es un número primo entonces si $p \equiv 3 \pmod8$, $p$ no es congruente con el número...."

Poner esto juntos, si $p=8k+3$ es primo, entonces $y^2=x^3-p^2x$ tiene rango cero.

Es seguro ignorar los párrafos siguientes, a la izquierda encima de un intento anterior.

Ken Ono, Rango de cero cuadrática giros de modular curvas elípticas, http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publicaciones-cv/pdfs/014.pdf, demuestra que, si $E$ está definido por $y^2=x^3-1$, e $r$ es 1, 2, 5, 10, 13, 14, 17, o 22, entonces hay infinitamente muchos positiva squarefree enteros $D\equiv r\pmod{24}$ tal que $E_D$, $D$- cuadrática giro de $E$, tiene rango cero.

Supongo que esto no es exactamente lo que usted desea, ya que no especifica que los números enteros $D$ funcionan y las que no, pero todavía puede haber algo en ese documento, el cual será de utilidad para usted.

Answer 3

Para cualquier número racional $x$, existe una curva elíptica $E$ $\mathbf{Q}$ sin ningún tipo de puntos racionales cuyas $j$-invariante es $x$.

No te puedo dar la información precisa en el momento, pero la idea es que usted puede girar su curva elíptica y deshacerse de cualquier punto racional.

No te puedo dar ninguna de las ecuaciones.

Al menos sabemos que existe una familia ahora.

Answer 4

Pero tengo muy poco conocimiento acerca de estas cosas, pero en cuanto a mi conocimiento se refiere , hay algunas recientes célebre obra por Manjul Bhargava y Arul Shankar, donde en el hecho de que se compruebe que un positivo proporción de curvas elípticas tienen rango $0$.

El también se han utilizado los resultados recientes de Dokchitser, y lo probó. Así que usted puede encontrar su artículo aquí. Para dar un pájaro-vista de lo que han hecho, se puede decir que, en realidad, ellos son capaces de construir familias que exactamente la mitad de ellos tienen signo positivo en su funcional de la ecuación, y con un promedio de $3$-Selmer rango delimitado por $7/6$. (Esto puede ser logrado mediante la imposición de condiciones adecuadas en los coeficientes de la curva elíptica, y el cálculo de la raíz del número como un producto de las raíces locales de números). Ahora el trabajo de la Dokchitser hermanos en la paridad conjetura implica que para curvas elípticas con el signo $+1$, el rango de la $3$-Selmer grupo es aún. Cuando se combina con la cota de $7/6$, se deduce que el $3$-Selmer grupos de las curvas con el signo $+1$ que se encuentran en su familia debe ser trivial.

Ahora (bajo algunos supuestos adicionales sobre la $3$-torsión, y algunos otros supuestos técnicos, que son capaces de imponer a su familia) mediante la aplicación de los resultados de Skinner y Urbano en las Principales Conjetura (la que permite pasar de la trivialidad de un Selmer grupo a la no desaparición de las $L$-función) se deduce que las curvas en su familia que es signo de $+1$ también tienen no desapareciendo $L$-valor en $s = 1$.

Ahora un positivo proporción de curvas elípticas en general se encuentran en su familia, y así poner todo esto junto, uno encuentra que un positivo proporción de curvas elípticas tienen tanto $3$-Selmer rango de cero (y, en particular, Mordell--Weil rango ( $g$ ) cero) y también de la analítica de rango cero. Por lo tanto, un resultado positivo de la proporción de curvas elípticas satisfacer (el rango de la parte de) BSD.

Por otro lado, las obras de Kolyvagin y Don Zagier también son apreciables y dio lugar a muchos teoremas en esta dirección.

Y con respecto a su parametrización, hay algunos parametrización de hecho en el caso de resultados positivos de rango, para que yo pueda punto de la base de datos mantenida por Andrej, que está aquí, y es bien sabido que ciertas curvas elípticas de la forma $y^2= x^3-n^2x$ tiene un rango de $0$, por lo que hay un buen artículo por Keqin Feng y Maosheng Xiong que está aquí.

Todavía estoy buscando algunos buenos artículos, seguramente va a volver a editar el post, una vez que ellos.

Gracias.