Inversión de tiempo simetría y T^2 = -1

Question

Soy un matemático interesado en resumen QFT. Estoy tratando de undersand por qué, bajo ciertas (todos?) circunstancias, debemos tener $T^2 = -1$ en lugar de $T^2 = +1$ donde $T$ es la inversión de tiempo del operador. Entiendo, por el artículo de la Wikipedia que la exigencia de que la energía estancia fuerzas positivas $T$ a ser representado por un anti-operador unitario. Pero no veo cómo esto obliga a $T^2=-1$. (O tal vez no la fuerza, simplemente se lo permite?)

He aquí otra versión de mi pregunta. Hay dos distintos doble cubre de la Mentira de grupo $O(n)$ que restringir a la familiarizado $Spin(n)\to SO(n)$ de cobertura en $SO(n)$; se les llama $Pin_+(n)$$Pin_-(n)$. Si $R\in O(n)$ es una reflexión y $\tilde{R}\in Pin_\pm(n)$ cubre $R$,$\tilde{R}^2 = \pm 1$. Así diciendo que $T^2=-1$: $Pin_-$ en lugar de $Pin_+$. (Estoy asumiendo Euclidiana firma aquí). Mi pregunta (versión 2): ¿Bajo qué circunstancias estamos obligados a utilizar $Pin_-$ en lugar de $Pin_+$ aquí?

(He publicado una pregunta similar en physics.stackexchange.com la semana pasada, pero no hubo respuestas.)

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EDIT: Gracias a la media entero spin sugerencia en los comentarios de abajo, yo era capaz de hacer más efectiva la búsqueda web. Si entiendo correctamente, Kramer del teorema dice que para incluso dimensiones (la mitad del número de integer) las representaciones de la vuelta del grupo, $T$ debe satisfacer $T^2=-1$, mientras que los de número impar de representaciones tridimensionales (número de integer), tenemos $T^2=1$. Supongo que en este punto se hace una pregunta directa en teoría de la representación: Dada una representación irreducible de $Spin(n)$, se puede preguntar si es posible extenderlo a $Pin_-(n)$ (o $Pin_+(n)$) por lo que la levantó reflejos $\tilde R$ (por ejemplo,$T$) actuar como un anti-operador unitario.

Answer 1

Hay dos posibles respuestas al porqué de las $T^2=-1$:

a) ¿por Qué no. La fase total de un estado cuántico es no físico. Así una simetría puede ser realizado como una representación proyectiva. Aquí T puede ser visto como una representación proyectiva de la inversión de tiempo $T_{phy}$ que satisfacer $T^2_{phy}=1$.

b) Si definimos el momento de reversión de la simetría de ser comprendido como una representación en muchos sistemas del cuerpo con $T^2=1$, la simetría de las operaciones de que la ley ha fraccionado en quasiparticles puede ser realizado projectively, con $T^2_{quasi}=-1$.

Answer 2

La respuesta para la CPT transformaciones es obvio. Un CPT transformación es una rotación de 180 grados en la teoría Euclidiana, así CPT seguido por la CPT es una rotación de 360 grados, que le da un signo menos en fermionic los estados, y un signo más de bosonic estados. Esto es cierto para todos los invariantes de Lorentz teorías, o incluso las teorías que espontáneamente violar la invariancia de Lorentz y mantener un CPT ininterrumpida.

En el caso de que usted tiene un T simetría puede ser entendido a partir de la anterior. No siempre es cierto que el T simetría plazas a 1 de bosones y -1 en caso de fermiones, es sólo cierto para los fermiones y bosones cuya simetría CP no cuadrada de -1. Esto es cierto para la normal realización de la simetría CP, pero no para casos excepcionales, donde algunos de paridad de simetría puede tener loco fases, debido a que se mezcla con otro discretos simetría de la teoría.

Por ejemplo, comience con el electromagnetismo con la costumbre de paridad, y considerar la posibilidad de una real pseudoscalar $\phi_3$, que puede ser un pseudoscalar por el acoplamiento a una paridad invariante fermión el uso de $\gamma_5$, por lo que hay un término en la acción.

$$ \phi_3 \bar{\psi}\gamma_5 \psi $$

Considere la posibilidad de un segundo complejo escalares $\phi_1$, junto a $\phi_3$ como sigue:

$$ (\phi_1^2 \phi_3 + \bar\phi^2 \phi_3) $$

Ahora el cuadrado de $\phi_1$ necesidades para conseguir un signo menos bajo cualquier hipotético de paridad de transformación. Esto puede ser arreglado por la multiplicación por i, o mediante el intercambio de las partes real e imaginaria de $\phi$. Para excluir el último, usted puede añadir un término a la acción que es

$$ A(\phi^4 + \bar\phi^{4}) + iB(\phi^4 - \bar{\phi}^4) $$

Este es invariante bajo una transformación de paridad, pero sólo mediante el envío de $\phi\rightarrow \pm i \phi$. La plaza de la paridad es -1, por lo que el operador T en este campo $\phi$ plazas con un signo negativo.

Este tipo de cosas es fácil de cocinar en nonrenormalizable teorías. La teoría anterior muestra que incluso renormalizability no excluir estos chanchullos.