Es la función identidad el único fin de la preservación de isomorfismo entre un conjunto ordenado y a sí mismo?

Question

Tengo una pregunta.

Deje $(x,\leq)$ ser un conjunto ordenado. deje $f:x \to x$ ser un isomorfismo tal que $a \leq b$ implica $f(a) \leq f(b)$ (lo que significa que f es perserving el orden). Es $f$ la identidad de la función? Es $f(a)=a$ todos los $a \in x$? O hay más orden que preserva isomorphisms entre el $x$ y el sí mismo.

Answer 1

Deje $x$ ser bien ordenado y $f\colon x\to x$ ser un bijection con $f(a)\le f(b)$ siempre $a\le b$. Suponga $f$ no es la identidad. El conjunto de $y\in x$ $f(y)\ne y$ tiene un mínimo elemento $a$. Si $f(a)< a$ $f(f(a))=f(a)$ por minimality de $a$, pero que contradice a la inyectividad de $f$. Si $f(a)>a$ a la conclusión de surjectivity de $f$ que $f(b)=a$ algunos $b\in x$. Claramente, como $b<a$ llevaría a $a=f(b)=b<a$, llegamos a la conclusión de $b>a$. Pero, a continuación,$f(b)\ge f(a)>a$, contradicción.

Answer 2

Sugerencia: Suponga que $f:X\to X$ es una orden-isomorfismo donde $X$ es bien juego ordenado, y supongo que por la forma de la contradicción que hay algunos menos $x\in X$ tal que $f(x)\ne x.$ Se sigue que $f\bigl(f(x)\bigr)\ne f(x)$ (por qué?), de modo que $x<f(x)$ (żpor qué?). Se puede tomar desde aquí?

Answer 3

Sólo pensaba en una respuesta así. Pensé que me gustaría añadir esto para el resto de los lectores que estén interesados.

Esta es una prueba por inducción. Desde $X$ está bien ordenado, tiene un mínimo elemento. suponga $a_0 \in X$ es el mínimo elemento. Debido a que f es surjective, hay un $b_0 \in x$ tal que $f(b_0)=a_0$.

Supongamos que $b_0 \neq a_0$, lo que implicaría que $f$ no es la función identidad. Ahora, desde la $a_0$ es mínima, y $b_0 \neq a_0$, se deduce que el $b_0 > a_0$, y desde $f$ es el fin de perserving, obtenemos $f(b_0) > f(a_0)$ pero $f(b_0)=a_0$! por lo general obtenemos $a_0>f(a_0)$ $a_0$ no es el mínimo elemento de contradicción!

Ahora hay que hacer el mismo proceso para $X-\{a_0\}$ (que también está bien ordenado) hasta llegar a un conjunto vacío. Deducir que $f(a)=a$.