Infinitas proyecciones en el algebra de Cuntz

Question

Estoy estudiando el algebra de Cuntz $\mathcal{O}_n$, $(n \ge 2)$ con los generadores $S_1, S_2, \ldots, S_n$ y en mis notas de clase no es una declaración acerca de las proyecciones de $S_1S_1^*, S_2S_2^*, \ldots, S_nS_n^*$, lo que parece fácil pero no he sido capaz de demostrar:

• Todos los projecions $S_1S_1^*, S_2S_2^*, \ldots, S_nS_n^*$ son infinitos, donde una proyección de $p$ en una C*-álgebra $\mathcal{A}$ es infinito si es equivalente a una adecuada subprojection $q \in \mathcal{A}$ en el sentido de que no existis $v \in A$ tal que $p=v^*v$$q=vv^*$.

He demostrado que la identidad de $1$ es un infinito de proyección, pero las proyecciones en la declaración parece ser más complicado.

Si alguien me puede ayudar, se lo agradezco.

Answer 1

Son el equivalente a la identidad, por lo que son también infinitas.

Explícitamente, tenga en cuenta que $S_jS_jS_j^*S_j^*$ es un subprojection de $S_jS_j^*$.

Es correcto, porque si $S_jS_jS_j^*S_j^*=S_jS_j^*$, multiplicando por $S_j^*$ a la izquierda y $S_j$ a la derecha llegamos $S_jS_j^*=I$, una contradicción.

Y es equivalente a $S_jS_j^*$, porque si $V=S_jS_jS_j^*$,$V^*V=S_jS_j^*$$VV^*=S_jS_jS_j^*S_j^*$.