¿Cuál es el valor esperado de la media de la más alta $m$ números en una población de $N$ aleatorias distribuidas normalmente las variables?

Question

Supongamos que yo generar aleatoriamente $N$ números de acuerdo a la distribución normal estándar, $\mathcal{N}(0,1)$. Entonces, supongamos que yo elija el más alto $m$ números, $x_1\leq x_2 \leq \cdots \leq x_m$. ¿Cuál es el valor esperado de la (aritmética) promedio de $x_1,\dotsc , x_m$?

Perdóname, no pude obtener mi teoría de la probabilidad fraseo 100% exacta aquí. Espero que mi significado es claro.

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EDIT: UN mejor intento de frases puede ser,

Si $a_1,\dotsc , a_N$ son números reales e $m<N$, definir $y_m(a_1,\dotsc , a_N)$ a la media de la parte superior $m$ valores entre los $a_1,\ldots ,a_N$. Si $X_1,\dotsc ,X_N\sim \mathcal{N}(0,1)$ son yo.yo.d. r.v.'s, definir $Y=y_m(X_1,\dotsc ,X_N)$. ¿Qué es $\mathbb{E}(Y)$?

(Estaría muy agradecido foro sugerencias sobre cómo mejorar la formal declaración de aquí.)

Answer 1

Usted puede obtener el resultado de esta respuesta en la Cruz Validado.

Por la linealidad de la expectativa, sólo tiene que añadir la parte superior $m$ estadísticas de orden y dividir por $m$.

Answer 2

Para responder a esta pregunta, se debe señalar que mediante la generación de un número aleatorio de una distribución con función de distribución acumulativa $F$, uno es el muestreo uniforme en el eje de las y y elegir el eje x valor. Por lo tanto, primero debemos encontrar el correspondiente $x$-valor de la partición elegida, que es $$\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_x^{ + \infty } {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} = \frac{M}{N}$$ which yields $$x = \sqrt 2 {\rm{InverseErfc}}\left( {\frac{{2M}}{N}} \right)$$ Now, all we have to compute is the expected value of $x$ in this range, that is $$\begin{array}{c}{\rm{Answer}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{\sqrt 2 {\rm{InverseErfc}}\left( {\frac{{2M}}{N}} \right)}^{ + \infty } {t{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} }}{{\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{\sqrt 2 {\rm{InverseErfc}}\left( {\frac{{2M}}{N}} \right)}^{ + \infty } {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} }}\\ = \frac{N}{{\sqrt {2\pi } M}}{e^{ - \frac{{{{\left( {{\rm{InverseErfc}}\left( {\frac{{2M}}{N}} \right)} \right)}^2}}}{2}}}\end{array}$$ A plot could be constructed for this problem by defining $u = \frac{N}{M}$ and noticing that $1 \le, u < + \infty$ Espero que sea de ayuda ;)