¿Cómo puedo demostrar que este espacio métrico no es convexo?

Question

Denote $X$ el espacio de todas las secuencias $\in$ $\mathbb R$ . Tengo una métrica $$d(x,y):=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{| x_n-y_n|}{1+| x_n-y_n|}$$

y $(X,d)$ es un espacio métrico.

¿Cómo podría demostrar que la bola cerrada (métrica) $B[0,\frac{1}{3}]$ con centro $0$ y el radio $1/3$ no es convexo?

He intentado trabajar a partir de la definición de que un conjunto $A$ en un espacio vectorial $X$ es convexo si para todo $x,y \in A$ y todos $t$ en el intervalo $[0,1]$ , $(1 t ) x + t y \in A,$ pero no puedo demostrar que no es convexo.

Estuve buscando sobre esto, y leí en alguna parte que podría tener algo que ver con secuencias sumables como $x=(1/2,1/2,1/2,...)?$ Sin embargo, no estoy seguro, podría estar equivocado.

Answer 1

Dejemos que $x=\langle 1,0,1,0,\dots\rangle$ y que $z$ sea la secuencia cero. Entonces

$$\begin{align*} &d(x,z)=\sum_{n\ge 0}2^{-(2n+1)}\left(\frac12\right)=\sum_{n\ge 0}\left(\frac14\right)2^{-2n}=\\ &=\sum_{n\ge 0}\left(\frac14\right)4^{-n}=\sum_{n\ge 1}4^{-n}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac13\;, \end{align*}$$

así que $x$ está en el límite de la bola $B\left[z,\frac13\right]$ .

Dejemos que $y_r=\langle 0,r,0,r,\dots\rangle$ , donde $r>0$ Entonces

$$d(y_r,z)=\sum_{n\ge 1}2^{-2n}\left(\frac{r}{1+r}\right)=\frac{r}{1+r}\sum_{n\ge 1}4^{-n}=\frac{r}{1+r}\cdot\frac13\le\frac13\;,$$

así que $y_r$ está en la bola para todos $r>0$ .

Ahora dejemos que $$u_r=\frac12(x+y_r)=\left\langle \frac12,\frac{r}2,\frac12,\frac{r}2,\dots\right\rangle\;.$$ Entonces

$$\begin{align*} d(u_r,z)&=\sum_{n\ge 0}2^{-(2n+1)}\left(\frac{1/2}{1+1/2}\right)+\sum_{n\ge 1}2^{-2n}\left(\frac{r/2}{1+r/2}\right)\\ &=\frac13\sum_{n\ge 0}2^{-2n}\left(\frac12\right)+\frac{r}{r+2}\sum_{n\ge 1}2^{-2n}\\ &=\frac16\sum_{n\ge 0}4^{-n}+\frac{r}{r+2}\sum_{n\ge 1}4^{-n}\\ &=\frac16\cdot\frac43+\frac{r}{3(r+2)}\\ &=\frac{5r+4}{9(r+2)}\;, \end{align*}$$

así que $d(u_r,z)>\frac13$ si $5r+4>3(r+2)$ si $r>1$ . En otras palabras, para cualquier $r>1$ tienes $x,y_r\in B\left[z,\frac13\right]$ pero $u_r=\frac12 x+\frac12 y_r\notin B\left[z,\frac13\right]$ . Así, $B\left[z,\frac13\right]$ no es convexo.