Propiedad de monotonicidad de $\chi^2$ quantiles

Question

Supongamos que $\alpha$ es "pequeño". Dejemos que $a(v)$ sea el cuantil de $\chi^2(v)$ distribución correspondiente a $\alpha$ probabilidad, es decir, si $A\sim \chi^2(v)$ entonces $P[A\leq a(v)]=\alpha$ . Aquí $v$ son los grados de libertad de la distribución chi-cuadrado.

Tengo la sensación de que siempre que $v_1<v_2$ , $\dfrac{a(v_1)}{v_1}<\dfrac{a(v_2)}{v_2}$ . Al menos las simulaciones lo demuestran.

¿Es esto correcto? ¿Se puede dar una prueba rigurosa? ¿O alguna referencia al respecto?

Answer 1

Observaciones:

Observe que $\mathsf{Chisq}(\nu)$ tiene media $\nu$ y la varianza $2\nu$ por lo que la parte "gorda" de la distribución se desplaza hacia la derecha al aumentar $\nu.$ Por tanto, es totalmente razonable que el percentil 95 aumente con los grados de libertad (df) $\nu.$

La afirmación parece razonable: La figura siguiente muestra los percentiles 80 (rojo x s), percentiles 95 (negro o s), y los percentiles 99 (azul + s) para $\nu = 1, 2, \dots, 100.$ [Estos son percentiles exactos utilizando qchisq en R, no valores simulados].

Ideas vagas para la prueba: No sé cómo sería una prueba formal. (a) Es posible escribir las PDFs de las distribuciones chi-cuadrado. Para empezar, sería posible demostrar que los valores debajo de un punto fijo disminuyen al aumentar df. (b) A menudo los límites de Chebyshev son demasiado laxos para ayudar en este tipo de pruebas, pero quizás no en este caso. (c) Además, he visto aproximaciones racionales de los percentiles de chi-cuadrado para grandes df: a veces como notas al pie de las tablas de chi-cuadrado impresas, y tal vez en Abramowitz y Stegun. No sé si son lo suficientemente precisas para sus propósitos. Puede intentar buscar en Google primero.

Nota: Un hecho tangencialmente relacionado es que $P(X_\nu < 1)$ disminuye rápidamente a $0$ para $X_\nu \sim \mathsf{Chisq}(\nu)$ como $\nu \rightarrow \infty.$ Esto significa que la fracción de de probabilidad de un $\nu$ -distribución normal variable dentro de una hiperunidad del origen disminuye rápidamente a $0$ con el aumento de $\nu.$ Una manifestación de la "maldición de la dimensionalidad".

Answer 2

Parece que esto se puede derivar, sin demasiado cálculo, de la forma cerrada pdf para $\chi^2(\nu)$ . Demostraré la afirmación conexa de que para las $a<1$ , $$ P[A\leq a\nu]=\frac{\int_0^{a\nu} x^{\nu/2-1}e^{-x/2}dx} {\int_0^{\infty} x^{\nu/2-1}e^{-x/2}dx}$$ está disminuyendo en $\nu$ .

Configurar $x=t\nu$ da $$P[A\leq a\nu]=\frac{\int_0^{a} t^{\nu/2-1}e^{-t\nu/2}dt} {\int_0^{\infty} t^{\nu/2-1}e^{-t\nu/2}dt}$$

La función $te^{-t}$ aumenta para $0<t<1$ y disminuyendo para $t>1$ . Para $y\in (0,1/e)$ , dejemos que $t_0(y)$ sea la única solución de $y=te^{-t}$ con $t<1$ y que $t_1(y)$ sea la única solución de $y=te^{-t}$ con $t>1$ . Modificación de variables mediante $dt/dy=t/y(1-t)$ obtenemos

$$P[A\leq a\nu]= \frac{\int_0^{ae^{-a}} y^{\nu/2-1} \frac{1}{1-t_0(y)}dy} {\int_0^{1/e} y^{\nu/2-1} \frac{1}{1-t_0(y)}dy +\int_0^{1/e} y^{\nu/2-1} \frac{1}{t_1(y)-1}dy} $$

Para demostrar que esto disminuye en $\nu$ basta con demostrar que $\frac{t_1-1}{1-t_0}$ está disminuyendo en $y$ . (En general, dadas dos funciones $f,g$ definido para $y\geq 0$ , si $f(y)/g(y)$ está disminuyendo en $y$ entonces $\int_0^\infty y^s f(y)dy/\int_0^\infty y^s g(y)dy$ está disminuyendo en $s$ .)

Escriba $t_0'$ y $t_1'$ para las derivadas con respecto a $y$ . Debido a cómo $t_0$ y $t_1$ se definen, $t_1'<0<t_0'$ . Desde $0=\frac{1}{y}\frac{d}{dy}(t_0e^{-t_0}-t_1e^{-t_1})$ tenemos $$t_0'(1-t_0)/t_0=(-t_1')(t_1-1)/t_1.\tag{'}$$

Tenemos que demostrar que la siguiente expresión es negativa. $$ \frac{d}{dy}\frac{t_1-1}{1-t_0}=\frac{-(-t_1')(1-t_0)+t_0'(t_1-1)}{(1-t_0)^2}. $$

Utilizando ('), esto se reduce a mostrar $$\frac{(1-t_0)^2}{t_0}> \frac {(t_1-1)^2}{t_1}.\tag{?}$$

Desde $t_1\geq 1$ tenemos $\log t_1 < \sinh \log t_1$ . Tomando los exponenciales se obtiene $t_1e^{-t_1}< (1/t_1)e^{-1/t_1}$ lo que implica $t_0<1/t_1$ , lo que implica (?).