$(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) = 3$ Encuentre todos los posibles valores enteros de $x$ , $y$ , $z$ dado que todos ellos son enteros positivos.

Question

Encuentre todos los posibles valores enteros de $x$ , $y$ , $z$ dado que todos ellos son enteros positivos y $$(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) = 3.$$

Lo sé. $(x+1)(y+1)(z+1) = 3xyz$ que no es gran cosa. Ahora no puedo avanzar.

además se da $x$ es menor o igual que $y$ y $y$ es menor o igual que $z$

Answer 1

Sugerencia : Supongamos que $x, y, z \ge 3$ . Entonces $$1 + \frac 1 x \le \frac{4}{3}$$ y lo mismo para los otros dos. A continuación,

$$\left(1 + \frac 1 x\right)\left(1 + \frac 1 y\right)\left(1 + \frac 1 z\right) \le \frac{64}{27} < 3$$

Así que uno de los números tiene que ser bastante pequeño; ahora considera los casos con $x = 1$ y $x = 2$ .

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Algo más que sabes: $3$ es un divisor del lado derecho, por lo que es un divisor del lado izquierdo. Como $3$ es primo, $3$ tiene que dividir uno de los términos individuales.

Answer 2

Dejemos que $x$ sea el más pequeño de los tres.

Caso 1: $x=1$ .

Entonces $$ y=\frac{2\,z+2}{z-2} = 2 + \frac{6}{z-2}$$ Así que $z-2$ debe dividir $6$ Así que las posibilidades son $z=3,4,5,8$ Si queremos $x \le y \le z$ podemos eliminar dos de ellos.

caso 2: $x=2$

Entonces $$ y = \frac{z+1}{z-1} = 1 + \frac{2}{z-1}$$ Así que $z-1$ debe dividir 2, por lo que z=2, o 3.

caso 3: $x > 2$ .

En este caso, demuestre que $y < x$ y podemos parar.

Answer 3

Se trata de una variación del teorema de Fermat. El número de soluciones es nito. Escribiré una ecuación más general:

$$(x+r)(y+r)(z+a)=3xyz$$

Si $z,a$ - Se preguntarán. Entonces se podrá escribir la solución;

$$r=ps(2z-a)$$

$$x=((p+3s)z+ap)s$$

$$y=(z+a)(p+s)p$$

$$***$$

$$x=((z+a)p+s)s$$

$$y=(z+a)(3zp+s)p$$

$p,s$ - enteros nos pidieron. Hay que tener en cuenta que se puede resolver y luego reducir por divisor común.