6 votos

(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3 Encuentre todos los posibles valores enteros de xx , yy , zz dado que todos ellos son enteros positivos.

Encuentre todos los posibles valores enteros de xx , yy , zz dado que todos ellos son enteros positivos y (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3.(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3.

Lo sé. (x+1)(y+1)(z+1)=3xyz(x+1)(y+1)(z+1)=3xyz que no es gran cosa. Ahora no puedo avanzar.

además se da xx es menor o igual que yy y yy es menor o igual que zz

8voto

Sugerencia : Supongamos que x,y,z3x,y,z3 . Entonces 1+1x431+1x43 y lo mismo para los otros dos. A continuación,

(1+1x)(1+1y)(1+1z)6427<3(1+1x)(1+1y)(1+1z)6427<3

Así que uno de los números tiene que ser bastante pequeño; ahora considera los casos con x=1x=1 y x=2x=2 .


Algo más que sabes: 33 es un divisor del lado derecho, por lo que es un divisor del lado izquierdo. Como 33 es primo, 33 tiene que dividir uno de los términos individuales.

6voto

user44197 Puntos 8196

Dejemos que xx sea el más pequeño de los tres.

Caso 1: x=1x=1 .

Entonces y=2z+2z2=2+6z2y=2z+2z2=2+6z2 Así que z2z2 debe dividir 66 Así que las posibilidades son z=3,4,5,8z=3,4,5,8 Si queremos xyzxyz podemos eliminar dos de ellos.

caso 2: x=2x=2

Entonces y=z+1z1=1+2z1y=z+1z1=1+2z1 Así que z1z1 debe dividir 2, por lo que z=2, o 3.

caso 3: x>2x>2 .

En este caso, demuestre que y<xy<x y podemos parar.

1voto

jonathan hall Puntos 307

Se trata de una variación del teorema de Fermat. El número de soluciones es nito. Escribiré una ecuación más general:

(x+r)(y+r)(z+a)=3xyz(x+r)(y+r)(z+a)=3xyz

Si z,az,a - Se preguntarán. Entonces se podrá escribir la solución;

r=ps(2za)r=ps(2za)

x=((p+3s)z+ap)sx=((p+3s)z+ap)s

y=(z+a)(p+s)py=(z+a)(p+s)p

x=((z+a)p+s)sx=((z+a)p+s)s

y=(z+a)(3zp+s)py=(z+a)(3zp+s)p

p,sp,s - enteros nos pidieron. Hay que tener en cuenta que se puede resolver y luego reducir por divisor común.

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