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(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3 Encuentre todos los posibles valores enteros de x , y , z dado que todos ellos son enteros positivos.

Encuentre todos los posibles valores enteros de x , y , z dado que todos ellos son enteros positivos y (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=3.

Lo sé. (x+1)(y+1)(z+1)=3xyz que no es gran cosa. Ahora no puedo avanzar.

además se da x es menor o igual que y y y es menor o igual que z

8voto

Sugerencia : Supongamos que x,y,z3 . Entonces 1+1x43 y lo mismo para los otros dos. A continuación,

(1+1x)(1+1y)(1+1z)6427<3

Así que uno de los números tiene que ser bastante pequeño; ahora considera los casos con x=1 y x=2 .


Algo más que sabes: 3 es un divisor del lado derecho, por lo que es un divisor del lado izquierdo. Como 3 es primo, 3 tiene que dividir uno de los términos individuales.

6voto

user44197 Puntos 8196

Dejemos que x sea el más pequeño de los tres.

Caso 1: x=1 .

Entonces y=2z+2z2=2+6z2 Así que z2 debe dividir 6 Así que las posibilidades son z=3,4,5,8 Si queremos xyz podemos eliminar dos de ellos.

caso 2: x=2

Entonces y=z+1z1=1+2z1 Así que z1 debe dividir 2, por lo que z=2, o 3.

caso 3: x>2 .

En este caso, demuestre que y<x y podemos parar.

1voto

jonathan hall Puntos 307

Se trata de una variación del teorema de Fermat. El número de soluciones es nito. Escribiré una ecuación más general:

(x+r)(y+r)(z+a)=3xyz

Si z,a - Se preguntarán. Entonces se podrá escribir la solución;

r=ps(2za)

x=((p+3s)z+ap)s

y=(z+a)(p+s)p

x=((z+a)p+s)s

y=(z+a)(3zp+s)p

p,s - enteros nos pidieron. Hay que tener en cuenta que se puede resolver y luego reducir por divisor común.

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