$\mathbb{C}[x]/\langle x^2\rangle $ es uno de los principales ideales del anillo.

Question

$R=\mathbb{C}[x]/\langle x^2\rangle $ es un PID.

Deje $I$ ser cualquier ideal de $R$. Para mostrar $I=\langle \overline{f(x)}\rangle$ algunos $\overline{f(x)}\in R$. Deje $\overline{g(x)}\in I \implies g(x)\in \mathbb{C}[x].$, por Lo que existe un único $h(x)$, $a$ y $b$ tal que \begin{align*} g(x)=h(x)x^2+ax+b\implies \overline{g(x)}=a\overline{x}+b \end{align*} Entonces, ¿cómo a la conclusión de que es director. Y ¿cuáles son los principales ideales del anillo de $R$?

Answer 1

$R$ es no un PID, porque no es ni siquiera un dominio: $\bar x \bar x = 0$.

$R$ es uno de los principales ideales del anillo porque es la imagen homomórfica de un director de ideal del anillo.

El primer ideales de $R$ corresponden al primer ideales de $\mathbb{C}[x]$ que contengan $\langle x^2\rangle$. Por lo tanto, sólo hay una que no obvia el primer ideal en $R$: el correspondiente a la $\langle x\rangle$.

Answer 2

Como se ha señalado por lhf en su respuesta, $R = \Bbb C[x]/\langle x^2 \rangle$ no es un PID, ya que, lo que denota la coset $x + \langle x^2 \rangle \ne 0$ $\tilde x$ etc., tenemos

$\tilde x^2 = 0 \tag 1$

en $R$; por lo $R$ es no una parte integral de dominio. Sin embargo, es posible completamente clasificar todos los ideales de a $R$: son $\{0\}$, $R$ (tanto inadecuado), y $\langle \tilde x \rangle$, el director ideal generado por a $\tilde x$:

Si $I$ es una adecuada ideal de $R$, $0 \ne \tilde a \notin I$ cualquier $0 \ne a \in \Bbb C$; de lo contrario, tendríamos

$\tilde 1 = \tilde a^{-1} \tilde a \in I, \tag 2$

y por lo tanto $I$ no puede ser correcta, ya que contiene todos los $r \in R$: $r = r \tilde 1 \in I$. Ahora si $I \ne \{0\}$, hay algunos $0 \ne \tilde a + \tilde b \tilde x \in I$$a, b \in \Bbb C$; pero, a continuación,

$\tilde a^2 = (\tilde a - \tilde b \tilde x)(\tilde a + \tilde b \tilde x) \in I; \tag 3$

pero hemos visto que no podemos tener $0 \ne \tilde a^2 \in I$ si $I$ es adecuado; por lo tanto $\tilde a = 0$ y cada elemento de a $I$ debe ser de la forma $\tilde b \tilde x$, por lo que

$I = \langle \tilde x \rangle; \tag 4$

esto funciona bien, ya que para $\tilde c + \tilde d \tilde x \in R$,

$(\tilde c + \tilde d \tilde x)\tilde b \tilde x = \tilde c \tilde b \tilde x + \tilde d \tilde b \tilde x^2 = \tilde c \tilde b \tilde x \in I; \tag 5$

ya que el verdadero ideal de la $R$ es el principal ideal de $\langle \tilde x \rangle$ (que en realidad es máxima, ya que $R/\langle \tilde x \rangle \cong \Bbb C$, un campo), podríamos llamar a $R$ un director ideal anillo, o PIR para el corto.