Escrito $(a,b)$ como distinto de la unión de intervalos cerrados

Question

He estado pensando acerca de la siguiente pregunta:

Es posible escribir $(a,b)$ como distinto de la unión de intervalos cerrados?

Mi primera idea fue que no, pero luego pensé que la pregunta podría estar escondiendo algo sutil. He intentado varias cosas, algunas de las cuales le pregunté acerca de este sitio, y me parece que no puede construir una unión. Así que me decidí a volver a mi sensación de la tripa y demostrar que no se puede hacer.

Intento:

Supongamos que hay una unión. Luego cada intervalo cerrado contiene un racional. Dado que los conjuntos son disjuntos, racional alguno especifica un único intervalo. Por lo tanto, la unión debe ser una contables de la unión, y podemos enumerar los intervalos cerrados. Elija algunos listado de $I_1,I_2,\dotsc$ y dejar: $$(a,b)=\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k.$$ Ahora definir $$J_n=(a,b)\setminus \bigcup_{k=1}^n I_k.$$ Específicamente, considere la posibilidad de que $J_2$ contiene una media de intervalo de $(a',b')$ donde $a<a'<b'<b$.

Construir una secuencia en la que cada una de las $u_n$ es elegido de forma arbitraria en $J_n \displaystyle\bigcap\, (a',b')$. Por la de Bolzano-Weierstrass teorema, $u_n$ contiene una larga $v_n$ tal que $v_n\to c$. Debemos tener $c \in (a,b)$ $J_{\infty}\neq \varnothing$ lo cual es una contradicción.

Dicho de otra manera, no importa cómo los intervalos cerrados son los elegidos, podemos encontrar una secuencia en $(a,b)$ que converge a un límite en $(a,b)$ que figura en ninguno de los intervalos cerrados.

Es mi prueba correcta?

Answer 1

La estrategia general puede funcionar, pero tienes que ser más cuidadoso en la elección de la secuencia de $v_n$. Como ustedes la tienen, $v_n$ podría ser, finalmente, monótono, y es posible que convergen a un extremo de uno de los intervalos cerrados, lo que estaría en contradicción con su reivindicación implícita de que $\lim_n v_n\in J_\infty$. Para evitar esta posibilidad, intentar la construcción de $v_n$ de tal manera que se obtiene $$v_0<v_2<v_4<\cdots<v_5<v_3<v_1.$$ Luego, cuidadosamente demostrar que, de hecho, ha $\lim_n v_n\in J_\infty$.

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Edit: he Aquí un explícito contraejemplo a la prueba original. Fue formulada como una prueba por contradicción, que es difícil de trabajar, así que me interpretar la prueba de la afirmación de que se da una contables de la secuencia de los distintos intervalos cerrados en $[0,1]$, un punto se encuentra fuera de cada intervalo.

Vamos a:

• $I_1=[0.1,0.2]$
• $I_2=[0.8,0.9]$
• $I_n=[0.2+2/3^n, 0.2+3/3^n]$ $n>2$
• $u_n=0.2+1/3^n$

Entonces para cualquier subsequence $u$$v$,$\lim v = \lim u = 0.2 \in I_1$. Tenga en cuenta que $J_\infty$ no está vacío... el punto es que la secuencia de $u_n$ no nos ayuda en encontrar a un miembro de $J_\infty$.