Kähler diferencial sobre un campo

Question

He estado trabajando con Kähler diferenciales, y he a $\Omega^1_{B/k}$, donde B es un conmutativa $k$-álgebra, y $k$ es un campo. Me preguntaba que para$d(b)=0$, ¿esto implica que $b\in k$? Sé que hay ejemplos, sin embargo, como en $\Omega^1_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$ tenemos que $d(\alpha)=0$ fib $\alpha$ es algebraico. Pero ya tengo más de un campo, pensé que tal vez esto obligará a $b\in k$ en mi caso? Cualquier sugerencia u orientación sería de lo más útil!

Answer 1

$da=0$ no implica que $a\in k.$ Aquí está mi ejemplo.

Deje $B=k^{\{0,1\}},$ es decir, de las funciones de $\{0,1\}$ con valores en $k.$ Producto en álgebra $B$ está dado por pointwise la multiplicación, es decir, $p:B\otimes B\to B$ es dado por la fórmula $$p(f\otimes g)(x)=f(x)g(x), x=0,1.$$

Considerar los elementos $a,b\in B$ tal que $$a(0)=0, a(1)=1,b(0)=1,b(1)=-1$$

Vemos que $ab=-a,a^2=a$ $b+2a=1.$

A partir de la construcción de Kahler diferencial sabemos que $\Omega_{B/k}=I/I^2$ donde $I=\ker{p}.$ Considera $$b(1\otimes a-a\otimes 1)(1\otimes a-a\otimes 1)=b(1\otimes a^2-2a\otimes a+a^2\otimes 1)=b(1\otimes a-2a\otimes a+a\otimes 1)=b\otimes a+ 2a\otimes a-a\otimes 1=(b+2a)\otimes a - a\otimes 1=1\otimes a-a\otimes 1.$$ A partir de la construcción de Kahler diferencial también sabemos que $da=[1\otimes a-a\otimes 1].$ Hemos demostrado que la $(1\otimes a-a\otimes 1)\in I^2,$ $da=0.$ En el otro lado se ve fácilmente que $a\notin k.$

$k\hookrightarrow B$ es, obviamente, identificado como constante de funciones.

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Mi idea se basa en el hecho de cálculo que dice, que funciona con la propiedad $df=0$ son localmente constante. Aquí os dominio dividido en sólo dos puntos 0 y 1.

Answer 2

Si $B$ es un separables de extensión de campo de $k$ a $\Omega^1_{B/k} = 0$: de hecho, si $x \in B$ tiene un mínimo de polinomio $f \in k[t]$, separables por supuesto, a continuación, $f(x) = 0$ implica $f'(x)\,dx = 0$ y desde $B$ es un campo, $dx = 0$.