Es significativo el hecho de que factoriales tener más ceros a la derecha al subir más?

Question

Cuando me enteré de la existencia de factoriales en el grado escolar que rápidamente se interesó en la idea e hizo un montón de jugar con ellos. Me di cuenta, sin embargo, que como la factoriales tengo más y más ganaron más y más ceros a la derecha.

5!  has 1 trailing zero  and =                       120
10! has 2 trailing zeros and =                 3,628,800
15! has 3 trailing zeros and =         1,307,674,368,000
20! has 4 trailing zeros and = 2,432,902,008,176,640,000

Siempre me pregunté si eso significaba algo, o tal vez demuestra un cierto teorema. ¿No es así?

Toda La Precisión De Calc

Answer 1

Si $p$ es un número primo, entonces $n!$ es un múltiplo de a $p^k$ (pero no $p^{k+1}$) donde $$\tag1 k=\left\lfloor \frac np\right\rfloor+\left\lfloor \frac n{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac n{p^3}\right\rfloor+\ldots$$ y $\lfloor x\rfloor$ es el entero más grande $\le x$. Esto es así porque cada sumando cuenta los factores entre los $1,2,\ldots ,n$ que son múltiplos de $p$ $p^2$ $p^3$ y así sucesivamente.

Si dejamos $p=2$$(1)$, $k$ obtenemos siempre será al menos tan grande como cuando dejamos $p=5$. Por lo tanto, la potencia máxima de $10=2\cdot 5$ dividiendo $n!$ (es decir, el número de ceros finales) está dada por $(1)$$p=5$. Que es: El número de ceros crece a un ritmo de uno por cada múltiplo de $5$, por dos en cada múltiplo de $25$, por tres en cada múltiplo de $125$ y así sucesivamente. Tenga en cuenta sin embargo, que el crecimiento en el número de ceros es node forma exponencial. De hecho, $$\left\lfloor \frac np\right\rfloor+\left\lfloor \frac n{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac n{p^3}\right\rfloor+\ldots< \frac np+\frac n{p^2}+\frac n{p^3}+\ldots =\frac{n}{p-1},$$ por lo que el número de ceros es linealmente acotados y siempre $< \frac n4$.

Por el camino, $50!$ sólo ha $\left\lfloor \frac{50}5\right\rfloor +\left\lfloor \frac{50}{25}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{50}{125}\right\rfloor +\ldots = 10+2+0+0+\ldots = 12$ ceros finales

Answer 2

Cada vez que pase por un múltiplo de 10 (o algo 5 mod 10) acumulará otros 0

Por ejemplo 10! tiene dos ceros a la derecha, uno de multiplicar por 10 y la otra de multiplicar por 5 y 2.

Así que tiene sentido que mientras que usted consigue mucho mayor el número acumulado de ceros debe aumentar.