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Question

Esto en un ejercicio en mi libro de análisis en una sección sobre las reglas de L'Hopital. %#% $ De #% ahora es un indeterminado de la forma $$\lim\limits_{x \to \infty} \left[\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right]^x$ sin embargo no sé cómo solucionar el problema. He probado lo siguiente:

$0^\infty$ $ $$y=\lim\limits{x \to \infty} \left[\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right]^x$ $ $$\ln y=\lim\limits{x \to \infty}\ln \left[\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right]^x$ $ Ahora se trata de un indeterminado limitar de forma $$\ln{y}=\lim\limits_{x \to \infty} x\ln{\sin\frac{1}{x}}$ que % de enfoques $\infty\cdot\infty$. Sin embargo puedo no escribo ya que por lo tanto $\infty$.

¿Cómo puedo escribir esto hacia fuera correctamente?

Answer 1

Para el $x>6/\pi,$ $0

Answer 2

IMPRIMACIÓN:

En ESTA RESPUESTA, he desarrollado a la par de las desigualdades que se introdujo la geometría en la escuela primaria

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\theta\cos(\theta) \le \sin(\theta) \le \theta} \tag 1$$

para $0\le \theta \le \pi/2$.

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El uso de $(1)$$\theta=1/x$, tenemos

$$\frac{\cos(1/x)}{x}\le \sin(1/x)\le \frac1x$$

para $\frac2\pi \le x$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\left(\cos(1/x)\right)^{x} \frac{1}{x^x}\le \left(\sin(1/x)\right)^x\le \frac1{x^x}$$

de dónde aplicación del teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to \infty} \left(\sin(1/x)\right)^x=0}$$

Answer 3

$x=1/t$ De sustituir y calcular el límite del logaritmo de: $ \lim{x\to\infty}\log\left(\left((\sin\frac{1}{x}\right)^x\right) =\lim{x\to\infty}x\log\left(\sin\frac{1}{x}\right) = \lim{t\to0^+}\frac{\log\sin t} {t} =-\infty $$ por lo tanto su límite es $\lim{u\to-\infty}e^u=0$.

Answer 4

De hecho, usted ya sabe que $|\sin(u)|\le1$ todos los $u$, y al $u\to0$ este seno también se hace más pequeño.

Así que no importa lo que realmente está en el interior del seno, puede ser mucho más complicado que la expresión que acaba de $u=1/x$, hasta puede llegar a ser lo suficientemente pequeño, entonces usted tiene :

$|\sin(u)|\le C<1$ , y es bien conocido que el $C^x\to0$ al$x\to+\infty$, por lo que es toda la expresión.

Por ejemplo, si me preguntan la misma pregunta para$\sin(\frac{53+x^2-\ln(x)}{\sqrt{\pi^x}})^x$, entonces mi respuesta va a ser exactamente el mismo.

Y no es necesario tienden a $0$, sólo necesitamos la cantidad en el interior de los senos, y ser lo suficientemente pequeño como [ es decir $|u|\le\alpha$$\alpha<\frac{\pi}{2}$, de modo que $C<1$]. Por ejemplo, $sin(\frac{3x^2+5x+31}{2x^2-7})^x$ va a hacer.

Por supuesto, siempre se puede hacer más fino majorations, pero de ser perezoso en matemáticas no es siempre malo ;