Suma de dos variables aleatorias es la variable aleatoria

Question

Cómo mostrar: si $X$ y $Y$ son variables al azar en un espacio de probabilidad $(\Omega, F, \mathbb P)$, entonces es así $X+Y$.

La definición de una variable aleatoria es una función $X: \Omega \to \mathbb R$ con la propiedad que cada ${\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x}\in F$ $x\in\mathbb R$.

¿y más, cómo abordar $X+Y$ y $\min{X,Y}$?

Answer 1

Hay varias maneras de hacerlo. Un truco estándar para probar cosas como esta es notando que ${X + Y

Answer 2

De hecho, una variable aleatoria es una función medible de $\Omega$ $\mathbb{R}$. $${X+Y>x}={X>x-Y}=\bigcup{q\in \mathbb{Q}}{X>q>x-Y}=\bigcup{q\in \mathbb{Q}}({X>q\ }\bigcap{Y>x-q})=\bigcup_{q\in \mathbb{Q}}({X\le q\ }^c\bigcap{Y\le x-q}^c) $ $ $ {X\le q\ }^c\in \mathcal{F}\ ,\ {Y\le x-q}^c\in \mathcal{F} $, $\mathbb{Q}$ Es contable y es de $\mathcal{F}$ $\sigma-field$, obtenemos ${X+Y>x}={X+Y\le x}^c\in \mathcal{F}$. Entonces $$ {\omega:X(\omega)+Y(\omega)\le x}\in \mathcal{F}$ $ %#% $ de #% por definición, $$ {\omega:min{X(\omega),Y(\omega)}\le x}={\omega:X(\omega)\le x}\bigcup{\omega:Y(\omega)\le x}\in \mathcal{F}$ son dos variables aleatorias.