Integral doble

Question

Evaluar la integral doble:

$$\iint_D\arctan e^{xy}\,dy\,dx$$

donde $D:{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 4x}$

Para thie integral, ya que nuestra función no tiene escuela primaria anti-derivetives con respecto a ambas variables, he intentado solucionarlo por coordenadas polares. Pero luego se fue haciendo vale la pena y tengo algo muy feo y yo no puedo simplificar, pegué. ¿Hay cualquier trucos para lidiar con esto?

Answer 1

Sugerencia:

$$\int0^4 \int{-\sqrt{4x-x^2}}^\sqrt{4x-x^2} \tan^{-1}(\exp(xy))\,dy\,dx=\int0^4 \int{-\sqrt{4x-x^2}}^0 \tan^{-1}(\exp(xy))\,dy\,dx+ \cdots $$

$$+\int_0^4 \int_0^\sqrt{4x-x^2} \tan^{-1}(\exp(xy))\,dy\,dx=$$

$$\int_0^4 \int_0^\sqrt{4x-x^2} \tan^{-1}(\exp(xy))\,dy\,dx +\int_0^4 \int_0^\sqrt{4x-x^2} \tan^{-1}(\exp(-xy))\,dy\,dx.$$

Use la identidad $\tan^{-1}(c)+\tan^{-1}(\frac{1}{c})=\frac{\pi}{2}$ $c>0$.

Por cierto, también probé coordenadas polares, y arce aún no podía hacer la integral.

La clave está en que el dominio de integración es simétrico con respecto a lo $x$-eje y encontrar un truco de simetría.