Cambio del problema de Teorema de variables

Question

Estoy teniendo problemas con el cambio de variables teorema en dos variables.

El teorema dice: $$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$ Donde J es el Jacobiano.

Si $f(x,y)=xy$ donde $x,y \in \mathbb{R} $

$$\iint f(x,y)dxdy= \frac{(x·y)^2}{4}$$

si: $x=u+v; y=u-v$

$$\iint f(x,y)dxdy=\iint (u+v)(u-v)|J|dudv=2(\frac{u^3v}{3}-\frac{v^3u}{3})$$

Donde |J|=2. Si puedo deshacer el cambio tendría que conseguir el mismo resultado en los dos casos, pero si lo hago no lo hago. ¿Qué estoy haciendo mal?

Donde mi problema apareció

Yo estaba de resolución de problemas:

$$c^2 \phi_{xx}-\phi_{tt} =h(t,x)$$ con c constante y $$h(x,t)=tsin(x);x,t \in \mathbb{R}$$

Me parece que las características son: $$\xi=x+ct;\eta=x-ct$$ Luego de hacer un cambio de variables y de reescritura de la PDE: $$\phi_{\xi\eta}=\frac{1}{4c^2}H(\xi,\eta)$$ Entonces tengo: $$\phi(\xi,\eta)=\frac{1}{4c^2}\int(\int (H(\xi,\eta)d\eta))d\xi+A(\xi)+B(\eta)$$ con $$H(\xi,\eta)=h(x=x(\xi,\eta),t=t(\xi,\eta)))=\frac{\xi-\eta}{2c}sin(\frac{\xi+\eta}{2}) $$

El problema

La solución de este: $$\frac{1}{4c^2}\int(\int (H(\xi,\eta)d\eta))d\xi$$ Si puedo deshacer con el cambio de variables teorema sólo tengo: $$\frac{1}{4c^2} \iint 2c t sin(x) dxdt $$ Donde $2c$ es el Jacobiano. Que la integral es mucho más sencillo que con $\eta$ $\xi$ pero hice integrales y llegar a resultados diferentes y no sé qué estoy haciendo mal.

El progreso

Como un comentarista dijo que yo podría confundir la noción de integral doble y iterativo integral. Yo estoy revisando los conceptos, pero me han resuelto nada aún.

Answer 1

El propósito de la variable de transformación de $(x,t)\to(\xi,\eta)$ es convertir el diferencial operador $c^2D_{xx}-D_{tt}$ ("una suma de cuadrados") en un producto de $D_\xi D_\eta\>$, con el fin de realizar el siguiente procedimiento. Si no hay un poco de magia para realizar una correspondiente cosa en $(x,t)$-espacio uno nunca se hubiera molestado con la transformación en el primer lugar.

Usted tiene $$\tilde\phi_{\xi\eta}(\xi,\eta)={1\over 4 c^2} H(\xi, \eta)={\xi-\eta\over 8c^3}\sin{\xi+\eta\over2}$$ (si sus cálculos son correctos). De ello se sigue que $$\tilde\phi_\xi(\xi,\eta)={1\over 8c^3}\int (\xi-\eta)\sin{\xi+\eta\over2}\ d\eta=:\Phi(\xi,\eta)\ ,$$ donde $\Phi(\xi,\eta)$ es una expresión explícita en $\xi$$\eta$, y la implícita la integración constante puede depender de $\xi$ ($A'(\xi)$ de su argumento). La integración, una vez más, obtenemos $$\tilde\phi(\xi,\eta)=\int \Phi(\xi,\eta)\ d\eta=:\Psi(\xi, \eta)\ .$$ Aquí de nuevo $\Psi(\xi,\eta)$ es una expresión explícita en $\xi$$\eta$, y ahora hemos llegado a dos arbitraria de funciones añadidas $A(\xi)$$B(\eta)$.

Habiendo $\tilde \phi(\xi,\eta)$ en nuestras manos que ahora puede volver a la original de las variables de $x$ $t$ por escrito $$\phi(x,t):=\tilde\phi(x+ct,x-ct)\ .$$

Answer 2

Parece que para aplicar el cambio de variables teorema debo conocer los intervalos de primera.

Si puedo solicitar el cambio de variables de un indefinido integral múltiple soy, de hecho, la integración de más de un intervalo y el intervalo no es el mismo que el que yo estaba integrando en la primera indefinida integral múltiple por lo tanto, obtener resultados diferentes.

Fuente: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=211258

En efecto: permite intentar integrar el área de un círculo con un radio de 1.

En coordenadas cartesianas: $$\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dxdy=\pi$$

En coordenadas polares: $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}rdrd\theta=\pi$$