¿Si $T$ tiene rango finito, entonces: $I-T$ es inyectiva si y sólo si $I-T$ es sobreyectiva?

Question

Tengo un espacio de Banach $X$ y un operador linear continuo $T\colon X\to X$ que tiene finita fila (es decir, $\dim {T(X)}

¿$I-T$ es inyectiva si y sólo si $I-T$ es sobreyectiva?

Answer 1

Si $T$ tiene finita fila, $T$ es un operador compacto. Si $X$ es dimensional infinito, entonces el espectro de $T$ está formado por una secuencia de valores propios convergente a cero.

Una implicación va como esto:

Si $I-T$ es inyectiva, entonces $1$ no es un valor propio de $T$. Pero el espectro de puntos de $T$ es igual al espectro de $T$ (tal vez sin el cero). Por lo tanto es invertible $I-T$ y como consecuencia, es sobreyectiva.