¿Lo que ' s con el siguiente (Robinson) no estándar a prueba de?

Question

Nota: no estoy seguro de que es malo, pero tiene una fuerte sospecha, como los autores implícitamente mencionó pero al final optó por otra (más elaborada) prueba.

Deje $\hat S$ ser una superestructura.
Deje $^*$ el valor de la transferencia de un elemento de $\hat{S}$ a través de la transferencia de principio.
Deje $\varphi[x_1,...,x_n]$ ser una declaración de las variables $x_1,...,x_n$ $A$ un conjunto, y $A, \varphi[x_1,...,x_n]\in\hat S$.

Para mostrar:
$^*\{(a_1,...,a_n)\en A : \varphi[a_1,...,a_n] \text{ es válido} \} = \{(b_1,...,b_n)\in {^*} : {^*\varphi[b_1,...,b_n] }\text{ es válido} \} $

La prueba:
Deje $A_0 := \{(a_1,...,a_n)\in A : \varphi[a_1,...,a_n] $ es válido $\}$.
Desde $A_0 \subset A$ se sigue que $A_0\in \hat S$. Por lo tanto, la declaración de
$\forall x_1,...,x_n \in A: \bigg((x_1,...x_n)\in A_0 \Leftrightarrow \varphi[x_1,...,x_n] \bigg)$
es válida la fórmula de $\hat S$. Por medio de una transferencia, obtenemos: $\forall x_1,...,x_n \in {^*A}: \bigg((x_1,...x_n)\in {^*A_0} \Leftrightarrow {^*\varphi[x_1,...,x_n] } \bigg)$

Y desde $^*A_0 \subset {^*A}$ (sigue de $A_0 \subset A$ ), la transferencia de la fórmula nos dice que los elementos están en $^* A_0$ :

$$ \{(b_1,...,b_n)\in {^*} : {^*\varphi[a_1,...,a_n] }\text{ es válido} \} = {^*A_0} = {^*\{(a_1,...,a_n)\en A : \varphi[a_1,...,a_n] \text{ es válido} \}} $$

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El libro es de es "Nichtstandardanalysis por Landers, Rogge" (un libro alemán).

La transferencia de principio hasta ahora es (deje $\hat S$ $\hat W$ dos superestructuras): $$ \begin{align} &(1) & {^* \hat S }&= \hat{W} \\ &(2) & {^*s} &= s, \text{ for } s\in S \\ &(3) & \varphi\in\hat S \text{ valid} &\Leftrightarrow {^*\varphi}\in\hat W \text{ valid} \end{align} $$

(donde en $(3)$, $\varphi$ es una fórmula proposicional)

Answer 1

He encontrado el error:

Mi prueba asume que para cada tupla $(a_1,...,a_n) \in A$, los elementos de la tupla $a_1, ..., a_n$ son en $A$ así.

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Hmm... sí, tienes razón. Si vamos por la definición de $\hat S = \bigcup_{v\in \mathbb{N}} S_v$, obtenemos $A\in \hat S \Rightarrow A\in S_v \text{ for some }v\in\mathbb{N}$, por lo tanto $A\subset S_v$ y por lo tanto $^A \subset {^ S_v}$.
Si corregimos la declaración
$\forall x_1,...,x_n \in A: \bigg((x_1,...x_n)\in A_0 \Leftrightarrow \varphi[x_1,...,x_n] \bigg)$ $\forall x_1,...,x_n \in S_v: \bigg((x_1,...x_n)\in A_0 \Leftrightarrow \varphi[x_1,...,x_n] \bigg)$, mi argumento es nulo.