Fijar un suave mapa de $f : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$. Claramente esto induce a un pullback $f^\ast : C^\infty(\mathbb{R}^n) \rightarrow C^\infty(\mathbb{R}^m)$. Desde $C^\infty(\mathbb{R}^n) = \Omega^0(\mathbb{R}^n)$ (el espacio de cero formas), por definición, consideramos esto como un mapa de $f^\ast : \Omega^0(\mathbb{R}^n) \rightarrow \Omega^0(\mathbb{R}^m)$. Queremos extender $f^\ast$ para el resto del complejo de de Rham de tal manera que $d f^\ast = f^\ast d$.
Bott y Tu reclamación (Sección I. 2, justo antes de la Proposición 2.1), sin elaboración, que esto es suficiente para determinar el $f^\ast$ . Puedo ver por qué esto obliga a que por ejemplo,
$\displaystyle\sum_{i=1}^n f^\ast \left[ \frac{\partial g}{\partial y_i} d y_i \right] = \sum_{i=1}^n f^* \left[ \frac{\partial g}{\partial y_i}\right] d(y_i \circ f)$,
pero no veo por qué esto obliga a que cada término de la LHS a estar de acuerdo con cada término de la RHS -- no es como usted puede escoger sólo algunos $g$ donde $\partial g/\partial y_i$ es alguna función determinada, y el resto de parciales son cero.
