¿Cuál es el valor de $1^i$?

Question

¿Cuál es el valor de $1^i$? $\,$

Answer 1

En primer lugar, un ejemplo concreto de las cosas que pueden suceder con complejo de exponenciación si usted no es cuidadoso: $1 = e^{2\pi i}$, por lo que podemos ingenuamente intentar calcular $1^i = (e^{2\pi i})^i = e^{(2\pi i)} = e^{-2\pi}$.

Formal de la moral de ese ejemplo es que el valor de $1^i$ depende de la rama del logaritmo complejo que se utiliza para calcular la potencia. Usted puede saber ya que $1=e^{0+2ki\pi}$ para cada entero $k$, así que hay muchas opciones posibles para $\log(1)$.

La definición de libro de complejo de exponenciación estados que $1^i = e^{\log(1)i}$ donde "registro" es una rama del logaritmo complejo.

Ahora $e^{(2ki\pi)i} = e^{-2k\pi}$. Si usted toma $k = 0$, lo que corresponde a la utilización de la rama principal de los logaritmos, se obtiene una respuesta de $1^i = e^0 = 1$. Si usted toma $k = 2$ como en el ejemplo anterior, usando el hecho de que $1=e^{2\pi i}$, usted recibe $1^i = e^{-2\pi}$. Hay un número infinito de posibles valores de $1^i$, correspondientes a las distintas ramas del logaritmo complejo.

El confuso punto aquí es que la fórmula de $1^x = 1$ no es parte de la definición de complejo de exponenciación, aunque es una consecuencia inmediata de la definición de número natural exponenciación.

Un segundo punto que puede ser confuso es que la función $e^z$ utilizó anteriormente es realmente la compleja función exponencial $\exp(z)$, que se define por una potencia de la serie. De lo contrario, la definición de complejo de exponenciación sería circular.

Answer 2

$1^{i} = e^{\log(1) i} = e^{0}=1$

Answer 3

es 1. 1 el poder de la nada es de 1.

Edit: voy a elaborar. En la definición de $a^b$, intuitivamente sabemos qué hacer en determinados casos. Cuando $a$ es un número entero positivo y $b$ es un número entero, por ejemplo. Esta definición se puede ampliar fácilmente para cuando $a$ es real y positivo, y $b$ es un número real. En el caso de que $a$ es negativo, o complejo, estamos en problemas... una manera de evitar esto es para definir el poder en términos de logaritmo, como $a^b = e^{b \log a}$. Entonces, tenemos el problema de que el logaritmo es multivalor, por lo que podría obtener diferentes respuestas dependiendo de la rama que se elige. Este es el enfoque que se discuten en Carl solución.

No creo que este método propuesto se aplica para el caso de que $a$ es positivo y real, que es el caso que está siendo discutido. En el caso de que $a$ es positivo y real, $a^b$ es definido de manera inequívoca como $a^b = e^{b \ln a}$, donde $\ln$ es el único número real $x$ satisfacer $e^x = a$. Esta definición funciona incluso en el caso de que $b$ es complejo. Por lo que podemos aplicar esto para el problema original: $1^i = e^{i\log(1)} = e^0 = 1$ (Myke, tienes mi +1!). De hecho, $1^z = 1$ para cualquier complejo $z$. Este punto de vista es compartido por MathWorld, WolframAlpha, y Wikipedia, por lo que vale la pena.

Supongo que en algún nivel, es una cuestión de semántica y de la preferencia. ¿Por qué no utilizar múltiples ramas y todo ese jazz para el caso de que $a>0$? Porque (y esto es mi opinión), es innecesario, y no encaja con las definiciones existentes. La función exponencial $e^z$ es bien definidos a través de un poder de la serie y creo que todos estaríamos de acuerdo en que es un solo valor, incluso cuando $z$ es complejo. No tiene sentido para mí que $a^$ debe ser diferente cuando $a$ es real y positivo.