es la matriz invertible?

Question

El polinomio característico de un$3\times3$ matrix$A$ viene dado por

$$ \ chi_A (x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c $$

y toma los valores$\chi_A(-1) = 4$,$\chi_A(2)=4$ y$\chi_A(-3) = -16$. ¿Es$A$ invertible?

Obtuve$0$ puntos en esta pregunta en un cuestionario y quiero entender por qué. ¿Cuál es la forma correcta de hacer esta pregunta? Muchas gracias.

Answer 1

Insinuación:

1)$\,\det A=\pm c\,$

2)$\,A\,$ es invertible sif$\,c\neq 0\,$

Answer 2

La estrategia general es el uso de los siguientes hechos:

1. Una matriz es singular si y sólo si tiene 0 como un valor propio;
2. Los autovalores de una matriz a son las raíces de su polinomio característico;
3. La constante coeficiente de un polinomio es el producto de sus raíces.

Así que para empezar, tenemos que encontrar los coeficientes de $\chi$. Conectar los datos dados en el polinomio, se obtiene un sistema lineal en los coeficientes:

$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1\\4 & 2 & 1\\9 & -3 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}5\\-4\\11\end{array}\right].$$

La solución de este sistema de da $\chi(x) = x^3 -3x + 2$. Desde el término constante es distinto de cero, todos los autovalores son no-cero, y por lo que la matriz es invertible.

EDIT: tenga en cuenta que a veces puede ahorrar algo de trabajo, mirando a la geometría de los datos. Por ejemplo, si usted tenía $\chi(3) = -16$ en lugar, usted sabe que las tres raíces del polinomio tendría que ser en los intervalos $(-\infty, -1)$, $(2,3)$, y $(3,\infty)$, lo $0$ no podría ser una raíz. Por desgracia, para los datos de este problema, es posible que el $\chi$ tiene dos raíces en $(-1,2)$, incluyendo uno en 0, por lo que tiene que hacer el completo de álgebra.

Answer 3

Al sustituir los valores, obtendrás 3 ecuaciones con 3 variables:$$ 4=-1+a-b+c$$ $$4=8+4a+2b+c$$ $$-16=-27+9a-3b+c$$ solving these equations you will get $ a = 0, b = - 3, c = 2$, Thus the charactirestic function is$$\chi_A=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$$ which implies the eigenvalues of $ A$ are 1,1 and -2 which implies that

$ Det (A) = 1 \ times 1 \ times-2 = -2 \ ne 0$ Which implies $ A $ es invertible.

Answer 4

Tal vez si usted nos proporciona con su planteamiento del problema, nos puede ayudar a explicar de dónde salió mal.

Sin que aquí es una idea general. Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si tiene trivial kernel. Que es el único vector tal que $Av = 0$$v = 0$. Pensar en el núcleo como el conjunto de todos los vectores propios para el cero subespacio propio.

Entonces, ¿cómo se podría pensar acerca de este problema es que sus preguntando si o no el 0 subespacio propio (kernel) tiene un valor distinto de cero eigenvactors, equivalente a su pregunta si $0$ es una raíz del polinomio característico.

La vista de los datos ¿cómo se puede encontrar el real polinomio característico? La figura que fuera, y usted será capaz de decir si se tiene un kernel que no sea trivial o no.