En Jeffrey Lee la geometría diferencial de texto en la página 353 se define el determinante de una manera interesante el uso de multilineal alternada de los mapas:
Supongamos $V$ $n$- dimensional $k$-espacio vectorial sobre algún campo $k$, y deje $L^p_{\text{alt}}(V,k)$ denota el conjunto de $p$-multilineal alternada de los mapas de$V$$k$. Cualquier $f \in \text{hom}(V,V)$ induce el pullback mapa de $f^*: L^p_{\text{alt}}(V,k) \to L^p_{\text{alt}}(V,k)$ en la forma obvia. En el caso de $p=n$ la dimensión de $L^n_{\text{alt}}(V,k)$$1$, lo $f^*$ hechos por la multiplicación escalar, y llamamos a esta escalar el determinante de a $f$. Es decir, $$f^* \omega = \det (f) \omega$$ para cualquier $\omega \in L^n_{\text{alt}}(V,k)$.
Sin el uso de una base, es fácil ver a partir de esta definición, $\det: \text{hom}(V,V) \to k$ es un monoid homomorphism con respecto a su composición en $\text{hom}(V,V)$ y la multiplicación en la $k$. Por lo que se deduce que el $\det(f^{-1})=\det(f)^{-1}$ siempre $f$ es invertible.
Pero ahora mi pregunta es, ¿cómo podemos mostrar sin el uso de la base de que $\det(f) \neq 0$ implica que el $f^{-1}$ existe? Estoy un poco oxidado con mi álgebra lineal, así que quizás me estoy perdiendo algo que es obvio.
