Deje $J \in \mathbb{R}$ $m \times n$ matriz de rango $n$ $A \in \mathbb{R}$ $m \times m$ diagonal de la matriz positiva definida. Denotar por $J^+$ un pseudoinverse de $J$.
Como se muestra en esta pregunta $J^+AJ$ no es positiva definida en general.
Sin embargo, me preguntaba si se puede probar o refutar que $J^+AJ$ real y positiva de autovalores.
Esta pregunta se puede contestar fácilmente al realizar la descomposición de valor singular de $J$.
$J$ Tiene fila de columna completa, cualquier descomposición de valor singular de $J$ debe ser en forma de $U\pmatrix{S\ 0}V^T$ % matriz diagonal positivo $S$. Por lo tanto $J^+AJ=VS^{-1}BSV^T$, $B$ Dónde está el líder submatrix de #% principal $n\times n$% #%. Ya que $U^TAU$ es positiva definida, entonces es $A$ (criterio de Sylvester). Por lo tanto, $B$, siendo similar a $J^+AJ$, debe tener un espectro real positivo.
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