Tengo una pregunta rápida.
Supongamos que$R$ es un anillo conmutativo distinto de cero. Es posible que $|\operatorname{Spec}(R[X])|<\infty$?
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Supongamos que $R$ es distinto de cero. A continuación, podemos encontrar un surjection $R\to k$ campo $k$, lo que induce un surjection $R[x]\to k[x]$. De esto podemos obtener una cerrada incrustación $\text{Spec }k[x]\to\text{Spec }R[x]$, por lo que es suficiente para demostrar que $\text{Spec }k[x]$ es infinita para $k$ a un campo.
Para ello se puede proceder como sigue. Si $k$ es infinito, $(x-a)\in\text{spec }k[x]$ todos los $a\in k$. Si $k$ es finito, es decir $k=\mathbb{F}_q$, luego tenemos infinidad de elementos de $\text{MaxSpec }k[x]$, que corresponde al campo de las extensiones de $\mathbb{F}_{q^n}$ por cada $n\in\mathbb{N}$.
Nota que la realidad muestra que, incluso, $\text{MaxSpec }R[x]$ es infinito si $R\ne 0$.
He aquí un clunkier alternativa a MF DOOM mancha de respuesta.
Deje $J=\operatorname{Rad}(R[X])$ ser el Jacobson radical. Puedo reclamar $R[X]/J$ tiene infinitamente muchos ideales.
Considere el director ideal $I=(X+R[X]/J)$$R[X]/J$. Yo reclamo que $I^n\supsetneq I^{n+1}$ todos los $n\geq 1$. La contención se sigue inmediatamente de la definición. Supongamos que $I^n=I^{n+1}$ algunos $n$. A continuación,$X^n+J\in I^n=I^{n+1}$, lo $X^n+J=px^{n+1}+J$ algunos $p\in R[X]$. Esto implica $X^n-pX^{n+1}\in J$. Recordando $x\in J$ si $1-xy$ es una unidad para todos los $y$ en el overring (cf. Atiyah & MacDonald Capítulo 1), tenemos que $1-(X^n-pX^{n+1})$ es una unidad en $R[X]$. Sin embargo, $1-(X^n-pX^{n+1})$ es una unidad si el coeficiente constante es invertible, y todos los demás coeficientes son nilpotent (cf. A&M, En El Capítulo 1, Los Ejercicios 1,2). Pero $X^n$ coeficiente de $-1$, que no es nilpotent. Así que, necesariamente,$I^n\supsetneq I^{n+1}$, y conseguimos un infinito descendente de la cadena de ideales $I\supsetneq I^2\supsetneq I^3\supsetneq\cdots$.
Ahora supongamos que $R[X]$ tiene sólo un número finito de primer ideales, y por lo tanto sólo un número finito de máximos ideales, ya que la máxima ideales son principales. Enumerar los máximos ideales de $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_n$. Desde el máximo ideal son claramente pares coprime, el Teorema del Resto Chino implica $$ R[X]/J=R[X]/\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{m}_i\simeq R[X]/\mathfrak{m}_1\times\cdots\times R[X]/\mathfrak{m}_n=:S. $$ Se trata de un estándar resultado de que los ideales de $S$ tienen forma de $I_1\times\cdots\times I_n$ donde $I_i$ es un ideal de a $R[X]/\mathfrak{m}_i$. Pero cada una de las $R[X]/\mathfrak{m}_i$ es un campo, por lo tanto, tiene sólo trivial ideales. Por lo $S$ sólo ha $2^n$ ideales, una contradicción ya que el $R[X]/J$ tiene infinitamente muchos ideales. Por lo $R[X]$ debe tener una infinidad de primer ideales, de hecho, debe incluso tener infinitamente muchos máxima ideales.
