Propiedades elementales de los grupos

Question

Que $G$ ser un grupo y $g,h\in G$ dos elementos. Necesito demostrar que la ecuación de $xg=h$ tiene una solución única.

Aplicar $g^{-1}$ a ambos lados de la ecuación obtenemos: $(xg)g^{-1}=hg^{-1}$

Si considero el lado derecho de la ecuación:

$$(xg)g^{-1}=x(gg^{-1})=x\cdot e=x$$

Ahora $x=hg^{-1}$ lo que me hace concluir que $xg=h$ tiene una solución única. ¡Puede alguien corregirme por favor!!!!!!

Answer 1

Su respuesta es correcta, como se sostuvo:

\begin{align} xg = h &\iff (xg) g^{-1} = h g^{-1} \\ &\iff x = h g^{-1}. \end{align} Por lo tanto, como usted dice, $ x = h g^{-1} $ resuelve la ecuación de $ xg = h $.

Pero asegúrese de establecer que mientras que usted los encontró "una" solución a la ecuación, la solución que encontró deberán ser en realidad la única solución y por qué esto es así:

$x = hg^{-1}$ es la única solución a la ecuación de $xg = h$ porque $h, g \in G$ $g^{-1}\in G$ es el único inversa de a $g \in G$, por definición, el hecho de que $G$ es un grupo, y a cada elemento en un grupo tiene un único inverso dentro del grupo. Usted sólo necesita apelar a la definición de la inversa de un elemento de grupo y su singularidad.

Así que no hay ningún otro elemento $j\neq g^{-1}$ tal que $x = hj$ es una solución, de lo contrario $j$ también tiene que ser necesariamente la inversa de a $g$ lo cual es imposible, como el inverso de un elemento en un grupo es único.

En resumen, es un punto menor, pero sin embargo vale la pena que se indica en la conclusión de su argumento de que la singularidad de la solución se sigue de la unicidad de la inversa de $g$.

Answer 2

Esto es 100% correcto. Es una aplicación de las leyes de cancelación.

Answer 3

Después de mucho pensar, he decidido hacer una revisión significativa de mi post original.

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En primer lugar, vamos a tratar de recrear Timoci el proceso de pensamiento.

• Como es requerido por el grupo de axiomas, $ g $ tiene una inversa.

• Sin profundizar en el conocimiento de la teoría de grupo, no está claro si $ g $ sólo tiene un inverso o tiene muchos inversos. Sea cual fuere el caso, acaba de fijar una inversa y se denota por a $ g^{-1} $.

• Multiplicar ambos términos en la ecuación de $ xg = h $ a la derecha por $ g^{-1} $ obtener $ x = h g^{-1} $.

• Compruebe que $ x = h g^{-1} $ es de hecho una solución de la ecuación.

Timoci del propio argumento se asienta el existencial parte de su problema mediante el suministro de una solución. Sobre la singularidad de esta solución, me gustaría hacer el siguiente punto: Mediante la fijación de una relación inversa entre la $ g^{-1} $ $ g $ en el segundo paso, Timoci realidad demuestra que cualquier solución debe ser igual a $ h g^{-1} $. Por lo tanto, no necesitamos suponer que $ g $ tiene un único inverso con el fin de demostrar que la solución es única. De hecho, sólo tenemos que asumir que $ g $ posee al menos una inversa. Una manera más formal, el argumento que se presenta a continuación.

Supongamos que $ x_{1} $ $ x_{2} $ son soluciones de la ecuación de $ xg = h $. A continuación,$ x_{1} g = x_{2} g = h $. Elija cualquiera de los inversos de $ g $ (inversa existe, según lo estipulado por el grupo de axiomas) y se denota por a $ g^{-1} $. Se aplican $ g^{-1} $ a ambos términos en la ecuación de $ x_{1} g = x_{2} g $ sobre el derecho a obtener la $ x_{1} = x_{2} $. Por lo tanto, todas las soluciones son idénticos.

Este argumento es una manifestación del fenómeno de cancelación de grupo, así que lo que he hecho aquí es simplemente una elaboración de ncmathsadist de la solución. Con el debido respeto a los demás colaboradores de este hilo, también podemos resolver el problema mediante la traducción de la suposición de que existen dos soluciones diferentes en la declaración contradictoria que $ g $ tiene dos diferentes matrices inversas. Sin embargo, una explicación satisfactoria no necesariamente requieren un conocimiento previo de la unicidad de la inversa resultado.