Mostrando $\left|\frac{a+b}{2}\right|^p+\left|\frac{a-b}{2}\right|^p\leq\frac{1}{2}|a|^p+\frac{1}{2}|b|^p$

Question

Para $a,b \in \mathbb R$, $p\geq2$ trato de mostrar $$\left|\frac{a+b}{2}\right|^p+\left|\frac{a-b}{2}\right|^p\leq\frac{1}{2}|a|^p+\frac{1}{2}|b|^p.$$

Es este un popular desigualdad (Al menos yo no he podido encontrar en la lista de los populares de que las desigualdades de la wikipedia)? Parece estar relacionado con la convexidad pero no atinaba a mostrar. Una relacionada con la desigualdad parece ser $p \geq 1,a,b\geq0$

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^p\leq \frac{1}{2}a^p+\frac{1}{2}b^p,$$ que sigue directamente de la convexidad de $x^p$ para números positivos.

Answer 1

Tenemos para todos $x_1,x_2\geq 0$: $x_1^p+x_2^p\leqslant (x_1^2+x_2^2)^{p/2}$. De hecho, es suficiente para mostrar que cuando se $x_2=1$, de lo contrario se aplican a $\frac{x_1}{x_2}$. $f(t):=(t^2+1)^{p/2}-t^p-1$ no es negativo, ya que su derivada es$p(t^2+1)^{p/2-1}t-pt^{p-1}\geqslant 0$$f(0)=0$. La aplicación de a $x_1=\frac{a+b}2$$x_2=\frac{a-b}2$, obtenemos \begin{align*} \left|\frac{a+b}2\right|^p+\left|\frac{a-b}2\right|^p&\leqslant \left(\left|\frac{a+b}2\right|^2+\left|\frac{a-b}2\right|^2\right)^{p/2}\\\ &=\left(\frac {2a^2+2b^2}4\right)^{p/2}\\\ &=\left(\frac {a^2}2+\frac{b^2}2\right)^{p/2}\\\ &\leqslant \frac 12|a|^p+\frac 12|b|^p, \end{align*} desde el mapa de $t\mapsto |t|^{p/2}$ es convexa ($p\geqslant 2$).