Puedes abusar de algunas propiedades de los números reales. En primer lugar, que el cuadrado de un número distinto de cero es positivo. Eso significa que si quieres comprobar si una colección de números reales son todos cero, puedes simplemente elevar al cuadrado y sumarlos. Así, si queremos $a = b = c = d$ y $e = f = \sqrt 2 a$ entonces podemos comprobar si se cumple lo siguiente: $$ g_1(a, b, c, d, e, f) = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (e-\sqrt2 a)^2 + (f - \sqrt2a)^2 = 0 $$ Ahora bien, puede ser que las distancias sí formen un cuadrado, pero que la configuración sea errónea. Por ejemplo, podríamos tener que $a = b = c = e$ y $d = f = \sqrt2a$ . En ese caso, tendríamos que comprobar $$ g_2(a, b, c, d, e, f) = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-e)^2 + (d-\sqrt2 a)^2 + (f - \sqrt2a)^2 $$ y así sucesivamente, consiguiendo un montón de diferentes $g_n$ 's ( $15$ de ellos, para ser exactos). Por último, como sólo nos interesa saber si un de estos se mantienen, utilizamos una segunda propiedad de los números reales: Si el producto de dos números es igual a $0$ entonces uno de los números tiene que ser cero. Por lo tanto, si establecemos $$ g(a, b, c, d, e, f) = g_1(a, b, c, d, e, f)\cdot g_2(a, b, c, d, e, f)\cdots g_{15}(a, b, c, d, e, f) $$ entonces $g(a, b, c, d, e, f) = 0$ si y sólo si $g_n(a, b, c, d, e, f) = 0$ para algunos $n$ , lo que sólo ocurre si esa configuración representa realmente los lados y las diagonales de un cuadrado.
Sin embargo, hay un problema con esto: no comprueba si estos números son negativo . Sólo comprueba si son proporcionales e iguales como deberían ser. Esto es más fácil de rectificar añadiendo a todos los $g_n$ es un término como $(a-|a|)^2$ . De esta manera, si los números resultan negativos, ninguno de los $g_n$ dará cero.
Además, ¿qué pasa si $a = b = c = d = e = f = 0$ ? ¿Es eso un cuadrado? No lo sé. Sin embargo, no es tan fácil comprobarlo con funciones bonitas y sencillas.
