Álgebras de Banach conmutativas y máximo espacio ideal

Question

Deje $A, B$ ser conmutativa unital álgebras de Banach y deje $\varphi: A \rightarrow B$ ser un continuo unital mapa tal que $$\overline{\varphi(A)} = B$$

Deje $$\varphi^{*}: \text{Max}(B) \rightarrow \text{Max}(A)$$ $$\varphi^{*}(m) = m(\varphi)$$ ser el mapa del espacio de los máximos ideales de la $B$ a el espacio de máxima ideales de $A$ inducida por $\varphi$.

Cómo probar que $\varphi^{*}$ es un topológicamente inyectiva mapa?

(Recordemos que un operador $T: X \rightarrow Y$ se llama topológicamente inyectiva si $T: X \rightarrow \text{im}(T)$ es un homeomorphism)

Mi progreso en el problema es el siguiente: en primer lugar, el espacio de la máxima ideales de una conmutativa álgebra de Banach $A$ puede ser identificado con el espacio de continua funcionales de la forma $m: A \rightarrow \mathbb{C}$. Claramente el mapa de arriba es continua, ya que el pointwise convergencia de una red $(n_{i})$ en $\text{Max}(B)$ implica la convergencia de la red $ m_{i} \circ \varphi) $

(el espacio de lineal continua y funcional, dotado con las débiles* topología)

Si asumimos que para el momento en que el mapa es bijective, entonces el hecho de que un continuo bijective mapa entre compacto Hausdorff espacios es un homeomorphism, se obtiene el resultado.

(aquí el espacio de máxima ideales es compacto en débil* topología ya que el álgebra es unital)

La propuesta de la proposición se parece a una relajación en el citado razonamiento anterior aunque no puedo imaginar una manera fácil de modificar para que funcione. ¿Hay alguna sugerencias?

Answer 1

El uso que todos los personajes son de la norma.

De hecho, éstos son limitados, ya que su núcleo es un ideal maximal y por lo tanto cerrado. El hecho de que son la contractura de la siguiente manera espectral de la teoría. Si $a - \lambda 1$ es invertible, entonces es $\chi(a) - \lambda$. La contra-recíproca da que cuando $\lambda$ es en la imagen de $a$ bajo $\chi$ entonces $a - \lambda 1$a no es invertible, y por lo $$ |\chi(a)| \leq \sup \{ |\lambda| : \lambda \en \mathrm{sp}(a) \} \leq \ | \| $$

Utilizando el hecho de que $\varphi[A]$ es denso en $B$ tiene que si dos continuo funcional $\varphi_1$ e $\varphi_2$ está de acuerdo en $\varphi[A]$, entonces son iguales. Esto le da a la inyectividad.

Para topológico de inyectividad necesita ver que si $\varphi^\ast(\chi_n) = \chi_n \circ \varphi \in \mathrm{im}(\varphi^*)\subset \mathrm{Max}(A)$ convergen a $\chi \circ \varphi$ entonces $\chi_n \to \chi$ en $\mathrm{Max}(B)$. Deje $b \in B$, podemos encontrar $a_\epsilon$ con $\|\varphi(a_\epsilon) - b\| < \epsilon$y \begin{eqnarray*} |\chi_n(b) - \chi(b) | & \leq &\| \chi_n(b) - \chi_n(\varphi(a_\epsilon))\| + |\chi_n(\varphi(a_\epsilon)) - \chi(\varphi(a_\epsilon))| + | \chi(\varphi(a_\epsilon)) - \chi(b)|\\ & \leq & \epsilon + |\chi_n(\varphi(a_\epsilon)) - \chi(\varphi(a_\epsilon))| + \epsilon. \end{eqnarray*} Pero eso implica que el límite de $|\chi_n(b) - \chi(b)|$ es menor o igual que $\epsilon$ por cada $\epsilon$ y, por tanto, $0$.