Máximo ángulo entre vectores

Question

Considere la posibilidad de 3 vectores $\textbf{v},\textbf{v}',\textbf{u}$ relacionadas por

$$\textbf{v}=\textbf{u}+\textbf{v}'$$

Deje $\theta$ ser el ángulo entre $\textbf{v}$ e $\textbf{u}$ y deje $\phi$ ser el ángulo entre $\textbf{v}$ e $-\textbf{v}'$.

Para qué ángulo de $\theta$ es el ángulo de $\phi$ máximo? Las magnitudes $v,u$ se da y se puede expresar el ángulo en términos de ellos.

Empecé haciendo el producto escalar de la ecuación consigo llegar

$$v^{2}=vu\cos\theta+vv'\cos\phi=u^{2}+v^{'2}+2uv'\cos (\pi/2-\phi-\theta)$$

Yo pensaba que iba, a continuación, encontrar la derivada de esta expresión con respecto a $\theta$ y establezca $d\phi/d\theta=0$. Que da

$$-vu\sin\theta=2uv'\sin(\pi/2-\phi-\theta)$$ o

$$v\sin\theta=2v'\sin(\phi+\theta-\pi/2)=-2v'\cos(\phi+\theta)$$

que parece sobredeterminada.

Answer 1

A menos que usted está trabajando bajo peculiar limitaciones, haciendo esto de manera algebraica es casi seguramente un error táctico. En su lugar, dibuje un diagrama:

      A
     / \
   u/   \v
  |/     \|
  B------>C
      v'

Los ángulos se $\phi$ C y $\theta$ en A.

$\phi$ sin duda será un máximo de si podemos hacer es $\pi$ que pasa si $|u|>|v|$ e $\theta=0$.

A continuación, considere el caso en $|u|<|v|$. Si ya hemos decidido que en las posiciones de a y C, las posiciones posibles de B es un círculo con centro de A. Entre aquellos, los que maximizar el ángulo en C son aquellos donde BC es tangente al círculo, que son aquellos en los que el ángulo B es la razón!

La trigonometría básica, a continuación, nos da $|u|=|v|\cos\theta$.

Answer 2

$$ \vec v = \vec u -(-\vec v') = \vec v = \vec u -\vec w $$

así que ahora

$$ \vec u\cdot\vec v = ||\vec u||^2-\vec u\cdot\vec w $$

o

$$ ||\vec u||||\vec v||\cos\theta=||\vec u|| - ||\vec u||||\vec w||\cos\phi $$

y, a continuación, suponiendo que $\vec u\cdot\vec w \ne 0$

$$ \phi = \arccos\left(a+b\cos\theta\right) $$

y ahora que derivan

$$ \frac{d\phi}{d\theta} = \frac{b \sin (\theta )}{\sqrt{1-(a+b \cos (\theta ))^2}} = 0 $$

que da $\theta = 0 + k\pi$