Dejemos que $\sum_{k=1}^\infty a_n$ sean convergentes demuestran que $\sum_{k=1}^\infty n(a_n-a_{n+1})$ converge

Question

Dejemos que $\sum\limits_{k=1}^\infty a_n$ sea una serie convergente donde $a_n\geq0$ y $(a_n)$ es una secuencia monótona decreciente demostrar que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty n(a_n-a_{n+1})$ también converge.

Lo que he probado :

Dejemos que $(A_n)$ sea la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty a_n$ y $(B_n)$ sea la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty n(a_n-a_{n+1})$ .

Desde $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ y $B_n=\sum\limits_{k=1}^n k(a_k-a_{k+1})$ lo entendemos:

\begin{align} B_n&=A_n-na_{n+1}\\ &=(a_1-a_{n+1})+(a_2-a_{n+1})+...+(a_n-a_{n+1})\\ &>(a_1-a_n)+(a_2-a_n)+...+(a_n-a_n)\\ &=B_{n-1} \end{align}

vemos que $(B_n)$ es una secuencia monótona creciente $...(1)$

y

$B_n=A_n-na_{n+1}<A_n$ esto implica que la secuencia $(B_n)$ está acotado por encima ...(2)

Por lo tanto (a partir de (1) y (2)) la secuencia $(B_n)$ converge por lo que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty n(a_n-a_{n+1})$ también converge

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Algunos comentarios:

1. La identidad $B_n = A_n - n a_{n+1}$ no es lo suficientemente obvio como para afirmarlo sin pruebas. Una prueba rápida de inducción funcionaría, así como escribir las sumas utilizando elipses (es decir, el símbolo " $\ldots$ ") y simplificando.

2. Mostrar $B_n < A_n$ establece un límite superior basado en $n$ que no está permitido (por ejemplo $B_n \le B_n$ siempre!). Como $A_n$ (al ser las sumas parciales de una serie convergente) es convergente, se puede establecer fácilmente un límite superior (especialmente si se tiene en cuenta el hecho de que $A_n$ es creciente).

3. Puede establecer más rápidamente que $B_n$ es creciente al observar que es la suma de números positivos.

4. También podría señalar que, si $\lim B_n < \lim A_n$ entonces $a_n$ es aproximadamente un múltiplo de la serie armónica, que es divergente, por lo que las dos series comparten la misma suma. (Esto no es una crítica, sólo algo que vale la pena señalar).

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos utilizar $n=\sum_{k=1}^n (1)$ para escribir

$$\begin{align} \sum_{n=1}^N n(a_{n+1}-a_n)&=\sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^n(a_{n+1}-a_n)\\\\ &=\sum_{k=1}^N \sum_{n=k}^N (a_{n+1}-a_n)\\\\ &=\sum_{k=1}^N (a_{N+1}-a_k)\\\\ &=Na_{N+1}-\sum_{k=1}^N a_k\tag1 \end{align}$$

En la medida en que $a_n\ge 0$ disminuye monótonamente hasta $0$ y $\sum_{k=1}^n a_n<\infty$ tenemos $\lim_{n\to\infty }na_n=0$ . Por lo tanto, utilizando $(1)$ vemos que

$$\begin{align} \lim_{N\to \infty }\sum_{n=1}^N n(a_{n+1}-a_n)&=\lim_{N\to\infty}\left(Na_{N+1}-\sum_{k=1}^N a_k\right)\\\\ &=-\sum_{n=1}^\infty a_n \end{align}$$

de lo que se deduce que $\sum_{n=1}^\infty n(a_{n+1}-a_n)$ converge.