Resolver las siguientes ecuaciones en números enteros:
$$m(4m^2 + m + 12) = 3(p^n -1)$$
donde $m$ e $n$ son enteros y $p$ es un primo mayor que igual a 5.
Esto se simplifica a :
$$4m^3 + m^2 + 12m + 3 = (4m + 1)(m^2 + 3) = 3p^n$$
$\gcd(4m+1,m^2 +3)$ es mayor que 1 porque si fuera así, entonces tenemos sólo 4 posibilidades en cada caso de los que tenemos uno de los números para ser menos de 4, que no es posible.
Por otra parte, $$(4m+1,m^2 + 3) = (4m + 1, 16m^2 + 48) = (4m + 1,49) = 7\text{ or }49$$
Esto significa que el primer $p$ es de 7. y $4m + 1 = 3*7^k\text{ or }7^k$
Si $\gcd(4m+1,49) = 7$ entonces $k=1$ e $4m+1 = 21$ que no dan ninguna solución.Por lo tanto, $\gcd(4m+1,m^2 + 3) = 49$. Si $7^3$ divide $4m + 1$ entonces no se dividen $m^2 + 3$, y, a continuación, la solución se dice que obtenemos $$m^2 + 3 \leq 3*7^2 < 7^3 \leq 4m + 1$$
¿Cómo llegamos a la desigualdad anterior de la cadena?
