Grado de$a+b$ sobre un campo$k$, donde$a$ y$b$ son raíces distintas del mismo polinomio

Question

Deje $K/k$ ser una expresión algebraica de la extensión de los campos de con $a$ e $b$ distintas raíces en $K$ del mismo polinomio irreducible $f(x) \in k[x]$ grado $n$. Muestran que el grado de $k(a+b)/k$ es menor o igual a $\frac{n(n-1)}{2}$.

También, ¿cómo hace uno para construir campos de $k$ e $K$ junto con las raíces de $a,b\in K$ , de modo que la anterior desigualdad es en realidad una igualdad?

Estoy bastante seguro de que puedo conseguir ese $k(a+b)/k$ tiene grado menor o igual a $n(n-1)$ desde el polinomio mínimo de a$b$ sobre $k(a)$ tiene grado menor o igual a $n-1$, pero no estoy seguro de cómo reducir este por un factor de $1/2$. También he visto que hay técnicas computacionales para calcular el polinomio mínimo de una suma, sino una prueba de que evita cosas como resolvents sería lo ideal.

Answer 1

Si $f$ es inseparable, a continuación, $k$ ha característica principal $p$ e $f(X) = X^{p^l} - t$ para algunos $t\in k$ e $l\geq 0$. A continuación, $a+b$ satisface el polinomio $X^{p^l} - 2t$, que tiene un grado $p^l=n$, que es $\leq {n \choose 2}$ cuando $n\geq 3$. $n=2$ es un caso especial, ya que $p=2$ e lo $a+b=0$, mientras que $n=1$ es imposible.

Por otro lado, supongamos que $f$ es separable. A continuación, cada conjugado de $a+b$ es una suma de dos distintas raíces de $f$, y hay ${n\choose 2}$ de estos. Desde $\prod_{\gamma \sim a+b} (X-\gamma)$ es fijado por el grupo de Galois, ha coeficientes en $k$, y de ello se sigue que $a+b$ cumple un polinomio de grado $\leq {n\choose 2}$.

Para ver que la desigualdad es apretado, vamos a $f$ ser cualquier polinomio con doblemente transitiva grupo de Galois, por ejemplo, $S_n$, de tal manera que los pares sumas de las raíces son distintas. (Estos deben ser comunes, pero hay una buena manera de construir de ellos?) A continuación, $a+b$ tiene exactamente ${n\choose 2}$ conjugados.