Bolas con colores duplicados agrupados en grupos de 5, probabilidad de un grupo con$\ge 2$ colores

Question

Esto surgió de un juego en línea, y ambas respuestas exactas y aproximaciones sería muy apreciada.

$280$ bolas al azar se pone en $56$ papeleras de tal manera que todos los recipientes contienen exactamente $5$ bolas. Entre todos los $280$ bolas, $2$ de ellos son de color rojo, $2$ de ellos de color verde, $2$ de ellos de color azul (el resto puede ser considerado sin distorsiones, o de cualquier otro color). Quiero saber la probabilidad de que, entre las $56$ cubos de bolas, existe $\ge 1$ bin que satisface la siguiente condición: el bin contiene bolas de al menos dos colores entre los colores rojo, verde y azul.

Por ejemplo, si usamos "O" para denotar una pelota que no es de color como el rojo, el verde o el azul. $\{R, B, O, O, O\}$ e $\{R,R,G,O,O\}$ son contenedores que cumplan la condición, mientras que $\{R,R,O,O,O\}$ e $\{B,O,O,O,O\}$ no.

Mi Intento

Creo que una respuesta exacta se puede llegar (utilizando multinomials), pero yo no podía proceder más allá de la escritura de el denominador. Me decidí a hacer una aproximación de Poisson, donde $n = 56$ e $p$ es la probabilidad de que, cuando nos aleatoriamente de la muestra $5$ bolas de $280$, $5$ bolas de satisfacer la condición.

He calculado $p$ como sigue:

$$ 1 - \frac { \binom{274}{5} + \binom{6}{1} \binom{274}{4} + 3 \binom{2}{2} \binom{274}{3} } {\binom{280}{5}} $$

Y desde entonces la he usado $\lambda = n p$ y se utiliza $1 - e^{-\lambda}$ como la probabilidad final de que exista $\ge 1$ bin que satisface la condición.

• Es mi $p$ correcta, o no me lo cuentan mal?
• Puedo usar la aproximación de Poisson aquí? Sé que de Poisson puede ser utilizado para débilmente dependiente de los eventos, pero no estoy seguro de que este cumple con los requisitos.

Edit: El Proceso De Aleatorización

Me di cuenta de que probablemente debería haber mencionado el proceso de aleatorización. El juego original fue aleatorio por muestreo al azar de 5 de 280 en el primer recipiente, 5 de los restantes 275 en la segunda, 5 de los restantes 270 en la tercera, y así sucesivamente.

Answer 1

Me acerqué a esta dibujando un diagrama de árbol, comenzando con $R_1$ en el contenedor.

La adición de $G_1$ tiene dos posibles resultados: (tenga en cuenta que estas no $\frac{1}{56}$ e $\frac{55}{56}$)

• $Node_1$ ha $G_1$ en el mismo recipiente $R_1$ con una probabilidad de $\color{green}{P_1=\frac{4}{279}}$
• $Node_2$ ha $G_1$ en nueva bandeja con una probabilidad de $P_2=\frac{275}{279}$

El primer caso se cumple la condición de tener al menos dos colores en un mismo contenedor, así que nos paramos y agregar esto a una lista de éxitos. Continuando $Node_2$, añadiendo $B_1$ tiene tres resultados posibles:

• $Node_3$ ha $B_1$ con $R_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_3=\frac{4}{278}}$
• $Node_4$ ha $B_1$ con $G_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_4=\frac{4}{278}}$
• $Node_5$ ha $B_1$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_5=\frac{270}{278}$

De $Node_5$, añadiendo $R_2$ tiene cuatro resultados posibles:

• $Node_6$ ha $R_2$ con $R_1$, la probabilidad de $P_6=\frac{4}{277}$
• $Node_7$ ha $R_2$ con $G_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_7=\frac{4}{277}}$
• $Node_8$ ha $R_2$ con $B_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_8=\frac{4}{277}}$
• $Node_9$ ha $R_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_9=\frac{265}{277}$

De $Node_6$, añadiendo $G_2$ tiene cuatro resultados posibles:

• $Node_{10}$ ha $G_2$ con $R_1R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{10}=\frac{3}{276}}$
• $Node_{11}$ ha $G_2$ con $G_1$, la probabilidad de $P_{11}=\frac{4}{276}$
• $Node_{12}$ ha $G_2$ con $B_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{12}=\frac{4}{276}}$
• $Node_{13}$ ha $G_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{13}=\frac{265}{276}$

De $Node_9$, añadiendo $G_2$ tiene cinco posibles resultados:

• $Node_{14}$ ha $G_2$ con $R_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{14}=\frac{4}{276}}$
• $Node_{15}$ ha $G_2$ con $R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{15}=\frac{4}{276}}$
• $Node_{16}$ ha $G_2$ con $G_1$, la probabilidad de $P_{16}=\frac{4}{276}$
• $Node_{17}$ ha $G_2$ con $B_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{17}=\frac{4}{276}}$
• $Node_{18}$ ha $G_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{18}=\frac{260}{276}$

De $Node_{11}$, añadiendo $B_2$ tiene cuatro resultados posibles:

• $Node_{19}$ ha $B_2$ con $R_1R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{19}=\frac{3}{275}}$
• $Node_{20}$ ha $B_2$ con $G_1G_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{20}=\frac{3}{275}}$
• $Node_{21}$ ha $B_2$ con $B_1$, la probabilidad de $P_{21}=\frac{4}{275}$
• $Node_{22}$ ha $B_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{22}=\frac{265}{275}$

De $Node_{13}$, añadiendo $B_2$ tiene cinco posibles resultados:

• $Node_{23}$ ha $B_2$ con $R_1R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{23}=\frac{3}{275}}$
• $Node_{24}$ ha $B_2$ con $G_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{24}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{25}$ ha $B_2$ con $G_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{25}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{26}$ ha $B_2$ con $B_1$, la probabilidad de $P_{26}=\frac{4}{275}$
• $Node_{27}$ ha $B_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{27}=\frac{260}{275}$

De $Node_{16}$, añadiendo $B_2$ tiene cinco posibles resultados:

• $Node_{28}$ ha $B_2$ con $R_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{28}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{29}$ ha $B_2$ con $R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{29}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{30}$ ha $B_2$ con $G_1G_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{30}=\frac{3}{275}}$
• $Node_{31}$ ha $B_2$ con $B_1$, la probabilidad de $P_{31}=\frac{4}{275}$
• $Node_{32}$ ha $B_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{32}=\frac{260}{275}$

De $Node_{18}$, añadiendo $B_2$ tiene seis posibles resultados:

• $Node_{33}$ ha $B_2$ con $R_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{33}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{34}$ ha $B_2$ con $R_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{34}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{35}$ ha $B_2$ con $G_1$, la probabilidad de $\color{green}{P_{35}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{36}$ ha $B_2$ con $G_2$, la probabilidad de $\color{green}{P_{36}=\frac{4}{275}}$
• $Node_{37}$ ha $B_2$ con $B_1$, la probabilidad de $P_{37}=\frac{4}{275}$
• $Node_{38}$ ha $B_2$ en el nuevo bin, probabilidad de $P_{38}=\frac{255}{275}$

Que completa el árbol. Ahora se suman los éxitos, multiplicando a través de cada nodo padre. $$\begin{array}{rl} P_1= & \frac{4}{279}\\ P_2(P_3+P_4)= & \frac{275}{279}\cdot\frac{8}{278}\\ P_2 P_5(P_7+P_8)= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{8}{277}\\ P_2 P_5 P_6(P_{10}+P_{12})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{4}{277}\cdot\frac{7}{276}\\ P_2 P_5 P_9(P_{14}+P_{15}+P_{17})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{265}{277}\cdot\frac{12}{276}\\ P_2 P_5 P_6 P_{11}(P_{19}+P_{20})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{4}{277}\cdot\frac{4}{276}\cdot\frac{6}{275}\\ P_2 P_5 P_6 P_{13}(P_{23}+P_{24}+P_{25})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{4}{277}\cdot\frac{265}{276}\cdot\frac{11}{275}\\ P_2 P_5 P_9 P_{16}(P_{28}+P_{29}+P_{30})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{265}{277}\cdot\frac{4}{276}\cdot\frac{11}{275}\\ P_2 P_5 P_9 P_{18}(P_{33}+P_{34}+P_{35}+P_{36})= & \frac{275}{279}\cdot\frac{270}{278}\cdot\frac{265}{277}\cdot\frac{260}{276}\cdot\frac{16}{275} \end{array}$$ La suma es $$\frac{4440294}{27452639}\approx 16.17438\%$$

Answer 2

En primer lugar, permítanme decir que yo pienso que el cálculo de $p$ es correcta, y que una aproximación de Poisson es apropiado aquí.

Considerar la complementariedad problema: ¿Cuál es la probabilidad de que no bin contiene más de un color? En otras palabras, cada cajón contiene todos los incoloro bolas, o una o dos bolas del mismo color y con todas las otras bolas en la bandeja incoloro.

Las bolas pueden ser secuenciados en $280!$ formas, todas las cuales suponemos son igualmente probables. Consideramos que los primeros cinco pelotas en la secuencia para constituir la bandeja 1, la segunda de cinco bolas para ser la bandeja 2, etc. Aviso que esto significa que el orden de las bolas en cada bin es significativo. Se dice que una secuencia es "aceptable" si cada compartimiento contiene todos los incoloro bolas o una mezcla de incoloro bolas y bolas de un solo color. Para cada bin en un aceptable secuencia o bien no contiene bolas de colores, o una o dos bolas de un solo color con el resto de las bolas de color. Se rompe el aceptable secuencias en cuatro casos, se basan en el número de contenedores que contienen dos bolas de colores: puede haber cero, uno, dos, o tres bandejas. Vamos a decir $p_n$ es la probabilidad de que un aceptable de la secuencia que ha $n$ bandejas con dos bolas de colores, para $n = 0, 1, 2, 3$. Podemos calcular estas probabilidades por debajo.

Caso $n=0$: Hay $\binom{56}{1,1,1,1,1,1,50}$ formas (un coeficiente multinomial) para seleccionar los recipientes que contienen color y sin color de las bolas, y en cada uno de los seis recipientes que contienen bolas de colores, la única bola de color se puede colocar en $5$ caminos; entonces la $274$ incoloro bolas puede ser secuenciado en $274!$ maneras. Así $$p_0 = \frac{\binom{56}{1,1,1,1,1,1,50} \cdot 5^6 \cdot 274!}{280!} = 0.799991$$

Caso $n=1$: Uno de los recipientes contiene dos bolas de colores, y el color de las bolas puede ser elegido en $3$ maneras. Los recipientes que contienen color y sin color bolas puede ser elegido en $\binom{56}{1,1,1,1,1,51}$ maneras. En cada uno de los cuatro recipientes que contengan uno de color de la bola, la bola puede ser colocado en $5$ formas; y en el recipiente que contiene dos bolas de colores, bolas puede ser colocado en $\binom{5}{1,1,3}$ maneras. La incoloro bolas puede ser secuenciado en $274!$ maneras. Así $$p_1 = \frac{ 3 \cdot \binom{56}{1,1,1,1,1,51} \cdot 5^4 \cdot \binom{5}{1,1,3} \cdot 274!}{280!} = 0.037647$$

El resto de los casos son similares. Nos encontramos $$p_2 = \frac{3 \cdot \binom{56}{1,1,1,1,52} \cdot 5^2 \binom{5}{1,1,3}^2 \cdot 274!}{280!} = 0.000579$$

$$p_3 = \frac{\binom{56}{1,1,1,53} cdot \binom{5}{1,1,3}^3 \cdot 274!}{280!} = 2.91 \times 10^{-6}$$

Así que el total de la probabilidad de una secuencia es aceptable $$p = p_0+p_1+p_2+p_3 = 0.83822$$ y la respuesta para el problema original, la probabilidad de que al menos uno de bin contiene bolas de más de un color, es $$1-p = \boxed{0.16178}$$