¿n-ésimo orden polinómico con todos raíces donde los coeficientes son 1 o -1, más alto de n?

Question

Tengo polinomio <span class="math-container">$f(x） = \sum_{i=0}^n a_i x^i $</span>, donde <span class="math-container">$a_i = \pm 1$</span>. Todas las raíces de <span class="math-container">$f(x)$</span> son reales. ¿Cuál es el orden más alto de <span class="math-container">$n$</span>? Tenga en cuenta que las raíces son reales, pero pueden ser irracional. Incluso si hay raíces duplicadas, eso está bien

Answer 1

Vieta Fórmulas son la clave de este problema. Deje $r_1, \cdots, r_n$ ser las raíces. A continuación, definir \begin{align} A &= \sum_{i=1}^n r_i \\ B &= \sum_{1 \le i_2 < i_2 \le n} r_{i_1}r_{i_2} \\ C &= \prod_{i=1}^n r_i . \end{align} Por Vieta Fórmulas, sabemos que $A, B, C \in \{\pm 1\}.$Ahora $$\sum_{i=1}^n r_i^2 = A^2 - 2B = 1-2B \ge 0 \implies B = -1.$$ Pero entonces por AM-GM, tenemos $$\frac{3}n = \frac{1}n \sum_{i=1}^n r_i^2 \ge \left(C^2 \right)^{1/n} = 1 $$ lo que no puede suceder por $n \ge 4$.