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Existencia de $n$ raíces distintas de un conjunto de polinomios

La pregunta es

Deje $n$ ser un entero positivo. Demostrar que no son los números reales positivos $a_0,a_1,\dots, a_n$ tal que para cada elección de los signos del polinomio $$\pm a_{n} x^{n} \pm a_{n-1} x^{n-1}\pm a_{n-2} x^{n-2 }+\cdots \pm a_{1} x^{1}\pm a_{0} x^{0}$$ has $$n raíces reales distintas.

No se puede determinar una condición para garantizar la $n$ distintas raíces reales de un polinomio.

Una forma para conseguir múltiples raíces es utilizar el teorema del valor intermedio para producir al menos una raíz en $(0,1),(1,2),(2,3), \dots, (n-1,n)$, pero estamos cambiando los signos de coeficiente para el resto de polinomios y por tanto no soy capaz de pasar de aquí.

3voto

Lars Grammel Puntos 862

Lema: Supongamos $P(x)$ es un polinomio con distintas raíces reales. A continuación, $\exists \epsilon>0$ tales que el polinomio $P(x)+c$ tiene distintas raíces reales para todos los $|c|<\epsilon$.

Prueba: Escribir $P(x)=a\prod_{i=1}^{n}{(x-x_i)}$, $x_1<x_2<...<x_n$. Elija cualquiera de los $x_0<x_1$ e $x_{n+1}>x_n$. A continuación, $P(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})$ es distinto de cero y suplentes signo de $i=0,1,...,n$. Tome $\epsilon=\min_{0 \leq i \leq n} |P(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})|$ Consideran que cualquier $c$ con $|c|<\epsilon$. Entonces por el teorema del valor intermedio, por $i=1,...,n$, $s_i \in (\frac{x_{i-1}+x_i}{2},\frac{x_i+x_{i+1}}{2})$, $P(s_i)=-c$. Así llegamos $n$ distintas raíces reales de $P(x)+c$. Como $P(x)+c$ tiene orden de $n$, tiene claras raíces reales.

Ahora si $a_0,a_1,...,a_n$ trabajo, para cada opción de firmar $S \in \{-1,1\}^{n+1}$ obtenemos un polinomio $P_S(x)$ con distintas raíces reales diferentes de cero, por lo $xP_S(x)$ tiene distintas raíces reales, por lo $\exists \epsilon_S>0$ tales que el polinomio $xP_S(x)+c$ tiene distintas raíces reales para todos los $|c|<\epsilon_S$. Tome $0<t<\min_{S \in \{-1,1\}^{n+1}}\epsilon_S$. A continuación, para cada elección de signos S, $xP_S(x) \pm t$ tiene distintas raíces reales. Por lo tanto, $t, a_0,a_1,...,a_n$ trabajo para $n+1$. Como en el caso base $n=1$ es obvio, se realiza por inducción.

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