Lema: Supongamos $P(x)$ es un polinomio con distintas raíces reales. A continuación, $\exists \epsilon>0$ tales que el polinomio $P(x)+c$ tiene distintas raíces reales para todos los $|c|<\epsilon$.
Prueba: Escribir $P(x)=a\prod_{i=1}^{n}{(x-x_i)}$, $x_1<x_2<...<x_n$. Elija cualquiera de los $x_0<x_1$ e $x_{n+1}>x_n$. A continuación, $P(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})$ es distinto de cero y suplentes signo de $i=0,1,...,n$. Tome $\epsilon=\min_{0 \leq i \leq n} |P(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})|$ Consideran que cualquier $c$ con $|c|<\epsilon$. Entonces por el teorema del valor intermedio, por $i=1,...,n$, $s_i \in (\frac{x_{i-1}+x_i}{2},\frac{x_i+x_{i+1}}{2})$, $P(s_i)=-c$. Así llegamos $n$ distintas raíces reales de $P(x)+c$. Como $P(x)+c$ tiene orden de $n$, tiene claras raíces reales.
Ahora si $a_0,a_1,...,a_n$ trabajo, para cada opción de firmar $S \in \{-1,1\}^{n+1}$ obtenemos un polinomio $P_S(x)$ con distintas raíces reales diferentes de cero, por lo $xP_S(x)$ tiene distintas raíces reales, por lo $\exists \epsilon_S>0$ tales que el polinomio $xP_S(x)+c$ tiene distintas raíces reales para todos los $|c|<\epsilon_S$. Tome $0<t<\min_{S \in \{-1,1\}^{n+1}}\epsilon_S$. A continuación, para cada elección de signos S, $xP_S(x) \pm t$ tiene distintas raíces reales. Por lo tanto, $t, a_0,a_1,...,a_n$ trabajo para $n+1$. Como en el caso base $n=1$ es obvio, se realiza por inducción.