¿Qué es la suma de todos los números complejos?

Question

Si esta pregunta está mal definida o es de mala calidad, lo siento.

Qué, si algo ¿es la suma de todos los números complejos?

Si acaso, es una suma incontable, eso es seguro.

Supongo que alguna versión de la Teorema de la serie de Riemann significaría que no existe tal cosa como el suma de números complejos, aunque -y dudo en añadir esto- me imagino que

$$\sum_{z\in\Bbb C}z=0\tag{$ |Sigma $}$$

es, en cierto sentido, lo que podríamos llamar el "valor principal" de la suma. Para todos los $w\in\Bbb C$ tenemos $-w\in\Bbb C$ con $w+(-w)=0$ Así que, si procedemos ingenuamente, podríamos decir que estamos sumando $0$ infinitas veces ${}^\dagger$ Por lo tanto $(\Sigma)$ .

Sin embargo, tenemos que aclarar qué entendemos por "suma", ya que, por supuesto, con los números reales se pueden definir todo tipo de sumas infinitas. Estoy perdido.

¿Se ha estudiado antes este tipo de cosas?

Me sorprendería que no fuera así.

Por favor, ayuda :)

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$\dagger$ Soy consciente de que esto es un poco también ingenuo. No es algo que me tome en serio.

Answer 1

Tradicionalmente, la suma de una secuencia se define como el límite de las sumas parciales; es decir, para una secuencia $\{a_n\}$ , $\sum{a_n}$ es ese número $S$ de manera que para cada $\epsilon > 0$ Hay un $N$ de manera que siempre que $m > N$ , $|S - \sum_{n = 0}^ma_n| < \epsilon$ . No hay ninguna razón por la que no podamos definirlo así también para las secuencias incontables: dejemos que $\mathfrak{c}$ sea la cardinalidad de $\mathbb{C}$ y que $\{a_{\alpha}\}$ sea una secuencia de números complejos donde los índices son ordinales menores que $\mathfrak{c}$ . Definimos $\sum{a_{\alpha}}$ como ese valor $S$ de manera que para cada $\epsilon > 0$ Hay un $\beta < \mathfrak{c}$ para que siempre que $\gamma > \beta$ , $|S - \sum_{\alpha = 0}^{\gamma}a_{\alpha}| < \epsilon$ . Nótese que esto nos obliga a definir recursivamente la suma transfinita, para dar sentido a esa suma hasta $\gamma$ .

Pero aquí está la cosa: tomar $\epsilon$ para ser $1$ entonces $1/2$ entonces $1/4$ y así sucesivamente, obtenemos una secuencia de "umbrales" $\beta$ correspondiente a cada uno; llame a $\beta_n$ el $\beta$ correspondiente a $\epsilon = 1/2^n$ . Se trata de una secuencia contable (longitud estrictamente inferior a $\mathfrak{c}$ ). Inconveniente, $\mathfrak{c}$ es regular cualquier secuencia creciente de ordinales menores que $\mathfrak{c}$ con una longitud inferior a $\mathfrak{c}$ debe estar acotado estrictamente debajo de $\mathfrak{c}$ . Así que eso significa que hay algo de $\beta_{\infty}$ que está por debajo $\mathfrak{c}$ pero mayor que cualquier $\beta_n$ . Pero por definición, eso significa que todas las sumas parciales pasadas $\beta_{\infty}$ son inferiores a $1/2^n$ lejos de $S$ por cada $n$ . Así que deben ser exactamente iguales a $S$ . Y eso significa que sólo debemos añadir $0$ a partir de ese momento.

Este es un resultado bien conocido del que no recuerdo la referencia: las únicas secuencias incontables que tienen sumas convergentes son las que constan de un número contable de términos no nulos seguidos de nada más que ceros. En otras palabras, no hay ninguna forma sensata de sumar todos los números complejos y obtener una convergencia.

Answer 2

Si $\{z_i:i\in I\}$ es cualquier conjunto indexado de números complejos, entonces la serie $\sum_{i\in I}z_i$ se dice que converge al número complejo $z$ si para cada $\epsilon>0$ existe un subconjunto finito $J_\epsilon$ de $I$ tal que, para cada subconjunto finito $J$ de $I$ con $J_\epsilon\subseteq J$ , $\vert \sum_{i\in J}z_i-z\vert<\epsilon$ . En otras palabras, decir que la serie converge a $z$ es decir que la red $J\mapsto\sum_{i\in J}z_i$ de subconjuntos finitos de $I$ dirigida por inclusión, converge a $z$ . Se trata de un caso especial de la definición estándar de suma desordenada que funciona en un grupo topológico conmutativo (Hausdorff) arbitrario. Una referencia completa para este tipo de suma es la sección 5 del capítulo III de la obra de Bourbaki Topología general . En particular, porque $\mathbf{C}$ es contable en primer lugar, el corolario de la página 263 de loc. cit. implica que, si tal $z$ existe, entonces el conjunto $\{i\in I:z_i\neq 0\}$ es contable (tal resultado fue mencionado en la respuesta de Reese, pero no es necesario utilizar ningún tipo de recursión transfinita para dar sentido a este tipo de suma).

Así que, a menos que se quiera introducir una noción no estándar de suma (que necesariamente debe carecer de algunas de las características que uno esperaría basándose en el caso de las sumas finitas), no se puede decir con sentido que la serie en cuestión converja a nada.

Answer 3

La respuesta obvia es que dicha suma no puede definirse de forma única. Si uno se limita a los métodos de suma que son simétricos alrededor del origen, el límite condicional podría ser cero. (El proceso consistiría en sumar sobre los cuadrados (-x,-ix; x, -ix; x, ix, -x, ix) de forma que cada conjunto de 4 puntos sume cero (al igual que el origen). Jugando con los métodos de suma se podría generar cualquier resultado.