Una pregunta de la olimpiada matemática de Leningrado de 1989

Question

Demostrar que no podemos definir una operación binaria $*$ en el conjunto de enteros Z satisfacen simultáneamente las tres propiedades siguientes:

Para cualquier $AZ,BZ,CZ:$

1. $A*B=-(B*A)$

2. $(A*B)*C=A*(B*C)$ (Derecho asociativo)

3.Para cada $A\in Z$ existe $BZ,CZ$ tal que $A=B*C$

Me he atascado durante tres días en estas preguntas. De todos modos, voy a mostrar algunos resultados y la idea que tenía:

1.para cualquier XZ,tenemos $X*X=-(X*X)$ Así que tenemos $X*X=0$

2.para cualquier XZ,tenemos $X*0=-(0*X)=X*(X*X)=(X*X)*X=0*X$ Así que tenemos $X*0=0*X=0$

3.Ahora para cualquier $XZ$ ( $X0$ Definimos la órbita de X-- $Ox$ para ser el conjunto $Ox$ ={S| $YZ$ tal que $X*Y=S$ }, y el estabilizador de X-- $Fx$ para ser el conjunto $Fx$ ={T| $T*X=X*T=0$ }.

Mi objetivo es demostrar que realmente $Ox=Fx$ Y por lo tanto, ya que $XFx$ Así que $XOx$ y llegamos a una contradicción ya que $XOx$ (en caso contrario, si $YZ$ tal que $X*Y=X$ entonces $(X*Y)*Y=X*(Y*Y)=X*0=X*Y=X=0$ )

Es fácil ver que $OxFx$ ya que para cualquier $SOx$ tenemos $X*S=X*(X*Y)=(X*X)*Y=0*Y=0$ Así que $SFx$

Sin embargo, para la otra dirección, no puedo deducir, que necesito ayuda.

Creo que el trasfondo de esta pregunta es el teorema de la órbita y el estabilizador del curso de álgebra abstracta, por lo que tengo la fuerte intuición de que estoy en el camino correcto.

Answer 1

Tenga en cuenta que la condición de asociatividad implica que los paréntesis son redundantes, por lo que algo como $a \star b \star c \star d$ se define de forma única sin paréntesis.

Obsérvese que, por el axioma $3$ , $1 = c \star d$ para algunos $c,d \in \mathbb{Z}$ . Una aplicación repetida del axioma $3$ nos da que $d= e \star f$ para algunos enteros $e,f$ .

Por lo tanto, obtenemos que $1 = c \star e \star f$ . Observe ahora que $-1 = f \star c \star e$ por el primer axioma. Una aplicación repetida del primer axioma da como resultado que $1 = e \star f \star c$ . Una tercera aplicación da $-1 = c \star e \star f$ . Pero esto es una contradicción, ya que sabemos que $1 = c \star e \star f$ .