Esta pregunta es un poco diferente de Grupo de racionales positivos bajo multiplicación no isomorfo a grupo de racionales ya que me preguntaba si la función logarítmica podría resolver esto o no, gracias.
Considere dos grupos $(\mathbb Q^+,\cdot)$ y $(\mathbb Q,+)$ ¿existe un isomorfismo entre ellos?
Mi intento: Deja que $\varphi:\mathbb Q^+\rightarrow\mathbb Q$ sea la función isomorfa, entonces la siguiente afirmación debe ser cierta para todo $a,b\in\mathbb Q^+$ : $$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)+\varphi(b)$$ Así que supongo que una función logarítmica estaría bien aquí, ya que también es biyectiva.
Pero el problema es que no puedo mostrar para una base específica como $10$ por ejemplo, $\log(\mathbb Q^+)=\mathbb Q$ .
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Si la pregunta fuera sobre $\mathbb{R}^+$ y $\mathbb{R}$ la respuesta habría sido diferente (y más fácil), porque aquí $\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ es realmente una biyección, y de hecho un isomorfismo de grupo. Sin embargo, cuando se restringe a $\mathbb{Q}^+$ la mayoría de los valores de $\log$ siguen siendo irracionales (de hecho, trascendentales, esta es una función trascendental), por lo que no funcionará aquí.
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@Najib gracias, he explicado cómo tiene alguna diferencia en la parte superior del texto del problema. si todavía no es aceptable, me dicen que cerrar mi pregunta.
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Como las respuestas a la otra pregunta ya demuestran que los dos grupos no son isomorfos, puede haber no isomorfismo.
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@egreg Sí señor, pero al principio no era consciente de que ..
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La respuesta que has aceptado es la misma (hasta la reformulación) que la respuesta aceptada del hilo duplicado. ¿Cómo son las dos preguntas no ¿Duplicado?