Después de Ramanujan y Hardy encontrado el infinito de la suma de la representación de la función de partición $p(n)$, Rademacher, fue acerca de la simplificación de sus pruebas; la forma vistos generalmente implica la integración de $\frac{P(q)}{q^{n+1}}$ a lo largo de un círculo centrado en $0$ donde $P(q)=\sum_{n \geq 0} p(n) q^n$. Fijamos un número entero $N$ y considerar la secuencia de Farey de fracciones con denominador en la mayoría de las $N$, que a continuación se divide el círculo en dos partes, "centrado" cada parte en un determinado elemento de esta secuencia de Farey; como $N$ va al infinito (y nuestra radio va a la $1$), esto nos da la infinita suma que queremos.
Más tarde, Rademacher reescribió esta prueba utilizando un contorno diferente a lo largo de la mitad superior del plano (que puede ser enviada a la unidad de disco por $z \mapsto e^{2\pi i z}$). Él integrado a lo largo de la Ford círculos, a partir de a $i$ e ir a $i+1$ con una secuencia de caminos, cada camino que va más allá "abajo", el Ford círculos que antes (una construcción que se pueden encontrar en cualquier copia de Rademacher la segunda prueba del teorema). En última instancia, conduce a un limpiador de prueba, me gustaría conjeturar acerca de un tercio de la longitud de la original. Sin embargo...
A diferencia de la original método de círculo, no es inmediatamente claro qué está pasando. Rademacher cambios de variables tan pronto como sea posible (por buenas razones), pero esto no proporciona ninguna idea de lo que 'realmente' pasando; es claro que a medida que siga la secuencia de las rutas, se está haciendo cada vez más cerca de las diversas singularidades y por lo tanto 'ponderación' cada vez más en la integral, pero a diferencia de la prueba original no se puede ver esto como usted siga la cadena de integrales.
En segundo lugar, no está claro en absoluto cómo pensaba de ella (y esta es la pregunta). ¿Por qué Rademacher elegir a integrar a lo largo de la Ford círculos? Es sólo porque son una forma geométrica de mirar las fracciones de Farey (que son clave en el método de círculo), así que él dijo: "bueno, ¿por qué no me dan un tiro"? ¿Por qué funciona tan mágicamente en rápido y limpio integrales y de aproximación? Es claro que este contorno proporciona un camino mejor (je) para probar la suma formulario de $p(n)$, pero de ninguna manera está claro por qué.
