Forma fuerte de Urysohn Lemma

Question

Deje que$A$ y$B$ sean dos subconjuntos cerrados separados de un espacio normal conectado$X$. Demuestre que existe una función continua$f:X\rightarrow [0,1]$ st$f(A)=\{0\}, \space f(B)=\{1\}.$ También$\forall r\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$, el interior de$f^{-1}(r)$ no está vacío.

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Este es un ejercicio en mi libro de texto y trata sobre la forma fuerte de la lema de Urysohn. La prueba para el lema en el libro de texto usa los racionales diádicos, así que estoy tratando de aplicarlo al caso anterior, pero no he progresado.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Este es un gran desafío de la prueba. La correcta declaración de Urysohn del Lema ha $A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$. Si este es el lema estoy pensando, entonces es expresado formalmente como:

Vamos $A$,$B$ ser distintos conjuntos cerrados en un espacio normal $X$. A continuación, para cada diadic racional $r \in [0,1]$ existe un conjunto abierto $U_r$ tal que $A\subseteq U_0$, $B\subseteq (X\setminus U_1)$ y para $r<s$, $\overline{U_r} \subseteq U_s$.

Desde Urysohn del lema proporciona un equivalente a la definición de un espacio normal, comenzamos suponiendo que tenemos un espacio normal, $X$ con discontinuo, no vacío conjuntos cerrados $A$$B$. Deje $D\subset [0,1]$ ser el conjunto de todos los diádica racionales contenida en $[0,1]$. Entonces, por el lema obtenemos una colección de abrir conjuntos de $\{U_r\}_{r\in D}$ con todas las propiedades descritas en el lema. Deje $f:X\to [0,1]$ ser una función definida por $$f(x) = \Biggl\{\begin{array}\text{inf}\{r \mid x \in U_r\} & x \in X\setminus B \\ 1 & x \in B \end{array}$$ We know there exists $U_0 \in \{U_r\}_{i\in D}$ such that $A\subseteq U_0$. Then $f(a) = 0$ holds for all $\en Un$, so $$f(A) = 0 \implies A = f^{-1}(0) \implies A\subseteq f^{-1}(0)$$ By definition of $f$ it should also be clear that $$f(B) = 1 \implies B = f^{-1}(1) \implies B \subseteq f^{-1}(1)$$ It remains to be shown that $f$ is continuous and that the interior of $f^{-1}(r)$ is nonempty (I'm assuming this $r$ you mentioned is dyadic?) To prove $f$ es continua primero necesitamos dos resultados intermedios:

$\text{If} \space x \in \overline{U_r}\space \text{then} \space f(x)\leq r \tag 1 $

y

$\text{If} \space x \notin U_r \space \text{then} \space f(x)\geq r \tag 2 $

Ambos resultados se puede establecer en un par de líneas. La prueba por contradicción se presenta allí rápidamente. Una vez que se tienen estos dos resultados, seleccione cualquier $x \in X$ y deje $(a,b) \subseteq [0,1]$ ser un intervalo donde el $f(x) \in (a,b)$. El uso de la densidad de $D$ $[0,1]$ a reclamar la existencia de diádica racionales $s,t$ tal que $$a<s<f(x)<t<b$$ A continuación, se aplica resultado de la $(2)$ poner $x \in U_t$ y se aplican $(1)$ a deducir $x \notin \overline{U_s}$. Combinar las dos observaciones para ver $x \in U_t \setminus \overline{U_s}$. Para otro punto de $y \in U_t \setminus \overline{U_s}$ nosotros podemos usar tanto de nuestros resultados a mostrar $f(y) \in [s,t]\subset(a,b)$. Podría parecer extraño para hacer todo esto, pero una vez hecho esto podemos concluir que $U_t\setminus \overline{U_s}$ es una vecindad de a $x$ tal que $f\left( U_t\setminus \overline{U_s} \right) \subset (a,b)$$U_t\setminus \overline{U_s} \subseteq f^{-1}\big((a,b)\big)$, lo que demuestra la continuidad de la $f$. Esto debe servir como una especie de boceto detallado para ayudarle en su camino para completar la prueba, pero usted todavía necesita para comprobar mis afirmaciones.

Puede continuar a partir de aquí, mediante el lema y lo que sabemos acerca de la continuidad de $f$ a mostrar que el interior de $f^{-1}(r)$ es no vacío?

Answer 2

Parece que el siguiente.

Primero de todo, en la actual formulación de la reclamación es incorrecta. De hecho, vamos a $X=\{0,1\}$ ser un punto de un espacio diferenciado, $A=\{0\}$, e $B=\{1\}$. Entonces existe un único mapa $f:X\to [0,1]$ tal que $f(A)=\{0\}$$f(B)=\{1\}$, y está claro que $f^{-1}(r)=\varnothing$ por cada punto de $r$ diferente de la $0$ o $1$. Así que vamos a necesitar algún tipo de conectividad del espacio $X$. La costumbre de conectividad es suficiente, porque una imagen continua de un conectada espacio está conectado, y conectado a un subconjunto $C$ del segmento de $[0,1]$ tal que $0,1\in C$ coincide con el segmento de $[0,1]$.

Siguiente hacemos la observación de que la cuestión se reduce al caso $X=[0,1]$, $A=\{0\}$ y $B=\{1\}$. En efecto, desde el $A$ $B$ son distintos subconjuntos cerrados de un espacio normal $X$, existe una función continua $g:X\rightarrow [0,1]$ tal que $g(A)=\{0\}$ $g(B)=\{1\}.$ Ahora vamos a $h: [0,1]\to [0,1]$ ser una función continua tal que $h(0)=0$, $h(1)=1$, y para cada racional punto de $r\in [0,1]$ , el interior de $h^{-1}(r)$ no está vacío. Poner $f=h\circ g$. A continuación, $f:X\to [0,1]$ es una función continua, $f(A)=\{0\}$, $h(B)=\{1\},$ y y para cada racional punto de $r\in [0,1]$ , el interior de $f^{-1}(r)$ no está vacío.

Hay un ejemplo bien conocido de Cantor escalera de función $c:[0,1]\to [0,1]$ a que todos los reqired propiedades en lugar de que el interior de $c^{-1}(r)$ no está vacío sólo para cada diádica racional punto de $r\in [0,1]$. Como mi experiense muestra, generalmente para aplicaciones de este tipo de construcción es suficiente para la demanda que la propiedad sólo se aplica para un (denso) conjunto de diádica de puntos racionales de que el segmento de $[0,1]$, en lugar del conjunto de todos sus puntos racionales. Por otra parte, por el Teorema de Sierpiński, para cada uno de los contables de espacio métrico $A$ sin puntos aislados hay un homeomorphism $t$ desde el espacio $X$ en el espacio de las racionales. Por desgracia, no siempre se puede ampliar la homeomorhism $t$ a todo el segmento $[0,1]\subset A$, por ejemplo, porque no puede conservar el orden lineal de $[0,1]$. Neverteless, por Lavrentiev del Teorema [Kech 2.9], $t$ puede ser extendida a una homeomorphism entre el $G_\delta$-conjuntos.

La actualización. Es bien sabido que (ver, por ejemplo [JW]) que para cada contables densa subconjuntos $D$ $E$ del espacio $\Bbb R$ de los reales (dotado de la topología estándar), existe una homeomorphism $H$ del espacio $\Bbb R$ tal que $H(D)=E$ y esto puede ser probado por la norma de ida y vuelta argumento. Teniendo en cuenta el segmento de $[0,1]$ como compactification del espacio $\Bbb R$ y el uso de la monotonía de homeomorphisms de $\Bbb R$, vemos que existe una homeomorphism $i$ $[0,1]$ tal que $i(0)=0$, $i(1)=1$, y $i(\Bbb D_1)=\Bbb Q_1$, donde ($\Bbb D_1$) $\Bbb Q_1$ es el conjuntos de (diádica) racionales de que el segmento de $[0,1]$. Así podremos completar la construcción del mapa de $f$ poniendo $f=i\circ c\circ g$.

Referencias

[Kech] A. Kechris. Clásica Descriptivo De La Teoría De Conjuntos, – Springer, 1995.

[JW] Justo y Weese. El descubrimiento de la moderna Teoría de conjuntos.