¿Cuáles son las posibilidades de que 5 personas todos nacen en el mismo día #?

Question

Suponiendo 30 días por mes, dado 10 personas en una habitación. ¿Cuáles son las posibilidades de que 5 o más personas son nacidas en el mismo día de la#? (es decir, 5 nacido el 28 de julio, o 5 nacido el 6, etc)

(EDIT: cambiado de posibilidades, de 5 de las posibilidades de los 5 o más)

He probado con dos respuestas hasta el momento.

En el primero, escoge cualquier persona, y ver qué posibilidades existen de los otros 9, 8, etc para coincidir con la primera. Este parece ser 10 * 9/30 * 8/30 * 7/30 * 6/30.

En el segundo, supongo que se podría calcular la probabilidad de que 5 de los 10 tiene un cumpleaños en el día 1 + las posibilidades de 5 a tener un cumpleaños en el día 2, etc.

Estas respuestas parecen bastante diferentes. ¿Qué piensan ustedes que?

Answer 1

Utiliza la distribución Binomial fórmula aquí

p = 1/30, q = 1-p = 29/30

Probabilidad 5 nacido el mismo día

$$P(X=5) = {10 \choose 5}p^5q^5=8.75*10^{-6}$$

Answer 2

La probabilidad de que al menos cinco personas han nacido en el primer día del mes (asumiendo una distribución uniforme) es

$$ p_1 = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} \left(\frac{1}{30}\right)^k \left(\frac{29}{30}\right)^{10-k} = \frac{886717229}{98415000000000} \doteq 0.0000090100 $$

La probabilidad de que al menos cinco personas han nacido en cualquiera de los treinta días del mes es casi

$$ 30p_1 = \frac{886717229}{3280500000000} \doteq 0.00027030 $$

Sin embargo, esta doble cuenta aquellos casos en que dos conjuntos de cinco personas nacen en dos días diferentes del mes. Que sucede con una probabilidad de

$$ p_d = \frac{\binom{30}{2}\binom{10}{5}}{30^{10}} = \frac{203}{1093500000000} \doteq 0.00000000018564 $$

Así que la probabilidad final es

$$ 30p_1-p_d = \frac{44335831}{164025000000} \doteq 0.00027030 $$

Hay una diferencia que se hace por $p_d$, pero es demasiado pequeña para mostrar hasta en cinco dígitos significativos.

ETA: Si desea que la probabilidad de que exactamente cinco nacen en el mismo día, a continuación, nos gustaría establecer

$$ p_1 = \binom{10}{5} \frac{29^5}{30^{10}} = \frac{143578043}{16402500000000} \doteq 0.0000087534 $$

y luego continúe como antes.

Answer 3

Supongamos que el número máximo de los diez que comparten un cumpleaños es $n$. A continuación, $n=5,6,7,8,9,10$ constituyen una partición del evento de interés. Para contar el número de maneras para que fija $n$, en primer lugar elija $n$ de las diez personas a tener un cumpleaños, usted puede hacer eso en ${10}\choose{n}$ maneras. Los $n$ puede ser asignado a un cumpleaños en $30$ maneras. El resto de los $10-n$ puede ser asignado a otro cumpleaños en $(29)^{10-n}$ formas posibles (recuerde que estamos contando el número de maneras de tener exactamente $n$ diferentes días entre las $10$ personas). Pero hemos de evitar, al $n=5$, en el caso de que se nos asigne el otro $10-n=5$ a las personas a un cumpleaños (de lo contrario tendremos el doble conteo). Así, por $n=5$ tenemos que corregir restando $29$ posibilidades y, a continuación, añadir de nuevo de todas maneras tener cinco para un día y los otros cinco para otro día, lo que sucede en ${10\choose5}{30\choose2}$ maneras.

Por lo tanto, hay $${10\choose5}(30)((29)^{5}-29)+{10\choose5}{30\choose2}+{10\choose6}(30)(29)^{4}+{10\choose7}(30)(29)^{3}+{10\choose8}(30)(29)^{2}+{10\choose9}(30)(29)+{10\choose10}(30)$$ formas de asignar diez personas para cumpleaños, de modo que cinco compartir un día. Tan solo hay que dividir esto por $30^{10}$ para obtener la probabilidad.

Esto le da a $0.0002702992287761012$ lo que concuerda perfectamente con Brian Tung respuesta.

Answer 4

Primero vamos a calcular la probabilidad de que exactamente cinco personas comparten un cumpleaños. Hay ${10 \choose 5}=252$ formas de elegir a las personas que van a compartir un cumpleaños, $30$ formas de elegir el cumpleaños, y $29^5$ maneras de elegir los cumpleaños de las otras personas, dando a $\frac{252\cdot 30 \cdot 29^5}{30^{10}}\approx 0.000262$. Esto no es muy correcto porque tenemos doble contados los casos en los que hay dos grupos de cinco en la habitación, pero que la corrección será muy pequeña. Dado que la probabilidad de que cinco es pequeña la probabilidad de que seis es menor aún, así que simplemente lo ignoran.