demostrar eso si $5| n^2$ y $5|n$ por contraposición

Question

que $ n \in \mathbb{R}$ Supongamos que $5\nmid n$ entonces por la definición de se divide n = dk + r donde $d \in \mathbb{Z}^{+}$ $k \in \mathbb{Z}$ y $d \neq 5$ y $0

¿Puede alguien ayudarme a terminar esta prueba? Me dijeron que esta es la forma correcta de comenzar pero no tiene una idea en cómo terminar.

Answer 1

Supongamos que $5\nmid n$

Entonces $\exists \: k,r\in \mathbb{Z}$s.t. $n=5k+r, 1\leq r \leq 4$.

Entonces $n^2=(5k+r)^2=25k^2+10kr+r^2$.

$r^2=1,4,9,$ $16$, que $5\nmid r^2$ que implica $5\nmid n^2$.

Answer 2

Considere la contrapositive:

Si $5 \not\mid n$, entonces el $5 \not\mid n^2$

Supongamos que $5 \not\mid n$. Escriba $n=5q+r$ $1 \le r \le 4$. Entonces $n^2=25q^2+10q+r^2=5t+r^2$.

Ahora, $1^2 = 1$, $2^2=4$, $3^2=9=5+4$, $4^2=16=5\cdot 3 +1$. Por lo tanto, en todos los casos, $n^2$ deja un resto distinto de cero cuando dividido por $5$, que significa que el $5 \not\mid n^2$.

Answer 3

Prueba alternativa: necesita mostrar si $5 \not \mid n$, entonces el $5 \not \mid n^2$. Pero primer $5$ ($p$ es primo si implica de $p \mid ab$ $p \mid a$ o $p \mid b$). Así que si $5\mid n\cdot n$, entonces el $5 \mid n$ (o $5 \mid n$) en cualquier caso, tienes una contradicción puesto que $5 \not \mid n$.