Norma que "mantiene" las matrices

Question

Dejemos que $A$ ser un $m\times n$ matriz tal que $m < n$ . Me gustaría conocer las condiciones de $A$ tal que lo siguiente es cierto:

$$\|Ax\| \leq \|Ay\| \implies \|x\| \leq \|y\|$$

Se puede demostrar fácilmente que si $\kappa(A)=1$ (número de condición) entonces se cumple esta propiedad. Estoy buscando el tipo más general de matrices que satisfacen esta condición.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias, Phanindra

Answer 1

EDIT: Esta respuesta asume erróneamente que $A$ es un cuadrado $n \times n$ matriz.

Supongo que estamos trabajando sobre $\mathbb R$ . Afirmamos que $A$ debe ser un múltiplo escalar de una matriz ortogonal.

En primer lugar, demostramos que si $\| x \| = \| y \|$ entonces $\| A x \| = \| A y \|$ . Para llegar a una contradicción, supongamos que $\| x \| = \|y \|$ y $\| A x \| \neq \| A y \|$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\| Ax \| < \|A y \|$ . Además, está claro que tanto $x$ y $y$ son distintos de cero. (¿Por qué?) Ahora, fija un número $\beta$ tal que $$ 1 < \beta < \frac{\| A y \|}{\| Ax \|}. $$ Entonces, definiendo $z = \beta x$ es evidente que

• $\| A z \| = \beta \| A x \| < \| A y \|$ .

• $\| z \| = \beta \| x \| = \beta \| y \| > \| y \|$ .

Esto es una contradicción con la hipótesis (ya que $\| A z \| < \| A y \|$ pero $\| z \| > \| y \|$ ). Por lo tanto, si $\| x \| = \| y \|$ entonces $\| A x \| = \| A y \|$ .

Ahora queda por demostrar que $A$ es un múltiplo de una matriz ortogonal. Fijar un vector unitario $u$ . Entonces, como $\| x \| = \| (\| x \| u) \|$ se deduce de (2.) que $\| A x \| = \| A (\| x \| u) \| = \| x \| \cdot \| A u \|$ . Ahora bien, si $\| A u \| = 0$ entonces $A$ debe ser la matriz cero (¿por qué?) y ya hemos terminado. Por otro lado, suponiendo que $\| A u \| > 0$ es fácil ver que la matriz $$ B := \frac{1}{\| A u \|} A $$ es una isometría lineal y, por tanto, ortogonal.

Answer 2

Sólo quieres el SVD . Existen matrices unitarias U y V y una matriz diagonal Σ con entradas reales no negativas tales que: $$A=U\Sigma V^* \qquad \|Ax\| = \|U\Sigma V^*x\| = \|\Sigma V^*x\|$$ Así que toma x entre las columnas de V para conseguir que todas las entradas de Σ tienen el mismo valor, por lo que A es más o menos un múltiplo escalar de una matriz unitaria, sólo que posiblemente con rango deficiente ya que no es cuadrada: $$A = \lambda UV^*$$

Aquí puede solicitar λ para que sea no negativo, pero esto es sólo absorber escalares complejos de valor absoluto 1 en las matrices unitarias.