Demostrar la desigualdad de $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq 6$

Question

Deje $a,b,c>0$. ¿Qué es la prueba de que: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq 6$$

Answer 1

Tomar $$ \frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\frac{a}{ (abc)^\frac{1}{3}}$$ $$ \frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\frac{b}{ (abc)^\frac{1}{3}}$$ $$ \frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\geq 3\frac{c}{ (abc)^\frac{1}{3}}$$ de AM-GM y, a continuación, agregarlos y se obtiene $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b+c}{(abc)^\frac{1}{3}}$$ Por lo que es suficiente para demostrar que $$\left ( \frac{(a+b+c)}{(abc)^\frac{1}{3}}\, \, \, \, \, \, +\frac{9 (abc)^\frac{1}{3}}{a+b+c}\, \, \, \, \,\right )\geq 6$$ que tiene de la base de la desigualdad de $x^2+y^2 \geq 2xy$