Supongamos que tenemos una función de $F:M\rightarrow\mathbb{R}^l$ de un liso $m$-colector $M$ $\mathbb{R}^l$donde $l\le m$. Si denotamos los componentes de $F$$F^{\nu}$, podemos definir un sistema de $l$ ecuaciones:
$$F^{\nu}(x)=0.\tag{1}$$ para $\nu=1,\ldots,l$.
Deje $G$ a (conectado local) se encuentran el grupo de transformaciones en $M$, supongamos que queremos encontrar la condición para que el conjunto de soluciones de $(1)$ a ser invariantes bajo $G$. Tenga en cuenta que $F$ no tiene que ser $G$-invariante. Yo sería ingenuo esperar que el conjunto de soluciones de a $(1)$ sería invariante iff $w(F^{\nu})=0$ por cada generador infinitesimal $w$$G$, ya que (en representación de la exponencial mapa como $e^{\epsilon w}$) $$F^{\nu}(e^{\epsilon w}x)=F^{\nu}(x)+w(F^{\nu})(x)\epsilon+o(\epsilon),\tag{2}$$ y así $$\left.\frac{d}{d\epsilon}F^{\nu}(e^{\epsilon w}x)\right\rvert_{\epsilon=0}=w(F^{\nu})(x).\tag{3}$$ El lado izquierdo será cero si el lado derecho es.
Sin embargo, resulta que (Teorema 2.8 en Olver "Aplicaciones de la Mentira Grupos de Ecuaciones Diferenciales") que, además de a $(3)$ también necesita el diferencial de $DF$ a tener el máximo rango (en el conjunto de soluciones de $(1)$). Podría alguien por favor decirme lo que me falta que hace (1-3) no válido?