La conexión entre el conjunto de soluciones$\{F^{\nu}=0\}$ es invariante en una acción del grupo Lie y$DF$ con rango completo

Question

Supongamos que tenemos una función de $F:M\rightarrow\mathbb{R}^l$ de un liso $m$-colector $M$ $\mathbb{R}^l$donde $l\le m$. Si denotamos los componentes de $F$$F^{\nu}$, podemos definir un sistema de $l$ ecuaciones:

$$F^{\nu}(x)=0.\tag{1}$$ para $\nu=1,\ldots,l$.

Deje $G$ a (conectado local) se encuentran el grupo de transformaciones en $M$, supongamos que queremos encontrar la condición para que el conjunto de soluciones de $(1)$ a ser invariantes bajo $G$. Tenga en cuenta que $F$ no tiene que ser $G$-invariante. Yo sería ingenuo esperar que el conjunto de soluciones de a $(1)$ sería invariante iff $w(F^{\nu})=0$ por cada generador infinitesimal $w$$G$, ya que (en representación de la exponencial mapa como $e^{\epsilon w}$) $$F^{\nu}(e^{\epsilon w}x)=F^{\nu}(x)+w(F^{\nu})(x)\epsilon+o(\epsilon),\tag{2}$$ y así $$\left.\frac{d}{d\epsilon}F^{\nu}(e^{\epsilon w}x)\right\rvert_{\epsilon=0}=w(F^{\nu})(x).\tag{3}$$ El lado izquierdo será cero si el lado derecho es.

Sin embargo, resulta que (Teorema 2.8 en Olver "Aplicaciones de la Mentira Grupos de Ecuaciones Diferenciales") que, además de a $(3)$ también necesita el diferencial de $DF$ a tener el máximo rango (en el conjunto de soluciones de $(1)$). Podría alguien por favor decirme lo que me falta que hace (1-3) no válido?

Answer 1

La condición$$\left.\frac{d}{d\epsilon}F^{\nu}(e^{\epsilon w}x)\right\rvert_{\epsilon=0}=0$$ at the point $ x$ alone isn't enough to guarantee that $ F ^ \ nu (e ^ {\ epsilon w} x) = 0$ for $ \ epsilon> 0,$ so as written your argument only shows that this condition is necessary, not sufficient. It shouldn't be too surprising that we need a full-rank assumption to make both directions work - this is exactly the assumption we need to invoke something like the implicit function theorem in order to "straighten out" $ F $. In particular, it implies that any $ w$ with $ w (F ^ \ nu) = 0$ is tangent to some level curve of $ F ^ \ nu, $ que probablemente sea parte de su imagen mental.

Puede intentar pensar en algunos ejemplos: lo más obvio sería algo como$F(x) = x^2,$ donde el conjunto de soluciones es$\{ 0 \}.$. Cualquier grupo de transformaciones que mueva este punto (por ejemplo, las traducciones) es un contraejemplo, ya que$DF|_0 = 0.$