Conectando $p=1-q$ en el $3$ muestran que $x=y=z$

Question

Conectando $p=1-q$ en las 3 ecuaciones: $$\begin{cases} z=py+qx \\ x=pz+qy \\ y=px+qz \end{cases}$$ demuestre que $\boxed{x=y=z}$

Esto es de la parte final de la pregunta 7 en este documento STEP ,

y está siguiendo el consejo de otros estudiantes solución , sólo que no puedo llegar al resultado requerido a pesar de los consejos.

Cualquiera que pueda llegar a $\boxed{x=y=z}$ sustituyendo $p=1-q$ ?

Saludos cordiales,

Answer 1

Las ecuaciones son equivalentes a:

$$\begin{cases} z=q(x-y)+y \\ x=q(y-z)+z \\ y=q(z-x)+x \end{cases}$$

Sustituyendo $z$ en la tercera ecuación obtenemos

$$y = -q^2(y-x) + q(y-x) + x \Rightarrow (y-x)(q^2-q+1) = 0$$

Del mismo modo, $(x-z)(q^2-q+1) = 0$ y $(z-y)(q^2-q+1) = 0$ .

Así que $x = y = z$ o $q^2 -q +1 = 0$ pero no hay un número real $q$ que satisfaga esa ecuación. Por lo tanto:

$$\boxed{x = y = z}$$