Variación del lema fundamental de cálculo de variación.

Question

Permitir que$$C^1_0[a,b]:=\{f \ C^1[a,b]|f(a)=f(b)=0\}.$ $ proporcionar$C^1_0[a,b]$ sea denso en$L^2[a,b]$, quiero probar la siguiente declaración:

Si por $g,h\in L^2[a,b]$,

$$\int_a^b g \phi \,dx =\int_a^b h \phi \,dx$ $ para todas las funciones de prueba$\phi\in C^1_0[a,b]$,

entonces$g = h$ en casi todas partes.

Parece ser similar con el lema fundamental del cálculo de variación, ¿cómo puedo extender el resultado a las funciones$L^2$? Mi suposición es usar el argumento de la densidad, junto con uno de los teoremas de convergencia, pero no logré construir la prueba.

Por favor ayúdame aquí. Gracias.

Answer 1

Puedes hacerlo de manera abstracta. Muestre que el complemento ortogonal de$g-h$ es todo el espacio$L^2$. Por la teoría del espacio de Hilbert, esto implica que$g-h$ es el vector nulo, es decir,$g=h$ en casi todas partes.